[論文レビュー] A NOTE ON THE MODIFIED q-GENOCCHI NUMBERS AND POLYNOMIALS WITH WEIGHT (,) AND THEIR INTERPOLATION FUNCTION AT NEGATIVE INTEGERS

Serkan Aracı, Mehmet Acikg ̈ Oz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数および多項式を導入し、同様の重みを持つ q-Zeta 関数を確立し、q-Genocchi 数と関連付ける補間公式を導出する。生成関数およびラプラス・メリン変換を用いて、乗法定理、Witt 型公式、および Hurwitz Zeta 関数の一般化を導出し、数論における q-アナログの理解を深める。

ABSTRACT

The purpose of this paper concerns to establish modified q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�). In this paper we investigate special generalized q-Genocchi polynomials and we apply the method of gen- erating function, which are exploited to derive further classes of q-Genocchi polynomials and develop q-Genocchi numbers and polynomials. By using the Laplace-Mellin transformation integral, we define q-Zeta function with weight (�,�) and by presenting a link between q-Zeta function with weight (�,�) and q-Genocchi numbers with weight (�,�) we obtain an interpolation formula for the q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�). Also we derive distribution formula (Multiplication Theorem) and Witt's type formula for modified q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�) which yields a deeper insight into the effectiveness of this type of generalizations for q- Genocchi numbers and polynomials. Our new generating function possess a number of interesting properties which we state in this paper. 1. Introduction, Definitions and Notations Recently, q-calculus has served as a bridge between mathematics and physics. Therefore, there is a significant increase of activity in the area of the q-calculus due to applications of the q-calculus in mathematics, statistics and physics. The ma- jority of scientists in the world who use q-calculus today are physicists. q-Calculus is a generalization of many subjects, like hypergeometric series, generating func- tions, complex analysis, and particle physics. In short, q-calculus is quite a popular subject today. One of Important Branch of q-calculus in number theory is q-type of special generating functions, for instance q-Bernoulli numbers, q-Euler numbers, and q-Genocchi numbers, here we introduce a new class of q-type generating func- tion. We introduce q-Genocchi numbers with weight (�,�). When we define a new class of generating functions like, q-Genocchi numbers with weight (�,�), then we face to with this question that can we define a new q-Zeta type function in related of this new class of q-type generating function?. We give a positive answer for our new class of numbers and polynomials. More precisely we show that our q-type gen- erating function is generalization of the Hurwitz Zeta function. Historically many authors have tried to give q-analogues of the Riemann Zeta function � (s), and its related functions. By just following the method of Kaneko et al. (M. Kaneko, N. Kurokawa and M. Wakayama, A variation of Euler's approach to the Riemann Zeta

研究の動機と目的

• 生成関数を用いて、重み (α,β) を持つ新しいクラスの修正された q-Genocchi 数および多項式を定義すること。
• ラプラス・メリン積分変換を用いて、重み (α,β) を持つ q-Zeta 関数を確立すること。
• q-Zeta 関数と q-Genocchi 数および多項式を結ぶ補間公式を導出すること。
• 修正された q-Genocchi 数および多項式について、乗法定理および Witt 型公式を証明すること。
• 重み (α,β) を持つ q-Genocchi 多項式の枠組み内で、Hurwitz Zeta 関数を q-アナログとして一般化すること。

提案手法

• 重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数および多項式の生成関数を構築すること。
• ラプラス・メリン変換を適用して、重み (α,β) を持つ q-Zeta 関数を定義すること。
• 積分表現を介して、q-Zeta 関数と q-Genocchi 数の間の関数的関係を確立すること。
• 修正された q-Genocchi 数および多項式について、乗法定理（分布公式）を導出すること。
• q-Genocchi 数の構造的性質を明らかにするために、Witt 型公式を証明すること。
• 導入された q-Genocchi フレームワークを用いて、Hurwitz Zeta 関数を q-アナログとして一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み (α,β) を持つ q-Zeta 関数を定義し、同様の重みを持つ q-Genocchi 数を補間できるか。
• RQ2 重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数の生成関数は、Hurwitz Zeta 関数とどのように関係するか。
• RQ3 重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数および多項式について、乗法的および構造的公式（例：乗法定理、Witt 型公式）をどのように導出できるか。
• RQ4 導入された q-Genocchi フレームワークは、古典的 zeta 関数およびその q-アナログをどのように一般化するか。
• RQ5 ラプラス・メリン変換は、重み (α,β) を持つ q-Genocchi 数と q-Zeta 関数を結ぶ役割を果たすか。

主な発見

• ラプラス・メリン積分変換を用いて、重み (α,β) を持つ新しい q-Zeta 関数が定義された。
• 重み (α,β) を持つ q-Zeta 関数と、同様の重みを持つ q-Genocchi 数および多項式を結ぶ補間公式が確立された。
• 重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数および多項式について、乗法定理（分布公式）が導出された。
• q-Genocchi 数および多項式の構造的性質を深く理解するための Witt 型公式が証明された。
• 重み (α,β) を持つ修正された q-Genocchi 数の生成関数が、Hurwitz Zeta 関数を一般化することが示された。
• このフレームワークにより、古典的 q-Genocchi 数がうまく拡張され、リーマンおよび Hurwitz zeta 関数の q-アナログが得られた。