[論文レビュー] The Modified q-Euler numbers and polynomials

T. Kim|ArXiv.org|Feb 18, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 78

ひとこと要約

本稿では、$p$-進 $q$-積分表現を用いて、新しいクラスの修正 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$ を定義する。定義は $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$ および $n=0$ のとき $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$、それ以外の場合は 0 である。主な貢献は、負の整数でこれらの数を補間する $q$-zeta 関数 $\zeta_q(s,x)$ の構成であり、$\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$ が成り立つ。また、Dirichlet 字符に付随する一般化された $q$-Euler 数の明示的級数表現および関数方程式が導出される。

ABSTRACT

In the recent paper the interesting q-Euler numbers and polynomials introduced in JMAA. The purpose of this paper is to construct the modified q-Euler numbers and polynomiasl. Finally we will give the interesting many identities related to these numbers and polynomials.

研究の動機と目的

• 古典的Euler数を一般化し、$q \to 1$ のときそれらに還元される新しいクラスの $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$ を定義すること。
• 不変 $q$-測度 $\mu_{-q}$ を用いた $p$-進 $q$-積分表現により、これらの数を確立すること。
• 負の整数で $\mathcal{E}_{n,q}(x)$ を補間する $q$-zeta 関数 $\zeta_q(s,x)$ を構成すること。
• Dirichlet 字符 $\chi$ に付随する一般化された $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ の明示的級数表現および関数方程式を導出すること。

提案手法

• 生成関数 $F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{E}_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$ を用いて、$p$-進 $q$-積分 $\int_{\mathbb{Z}_p} [x]_q^n d\mu_{-q}(x)$ により $\mathcal{E}_{n,q}$ を定義する。
• 恒等式 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$ を用いて、修正 $q$-Euler 数を $q$-整数の無限交代和として表現する。
• $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$ として $q$-zeta 関数を構成し、$s = -n$ で $\mathcal{E}_{n,q}(x)$ を補間する。
• 奇数 $d$ に対して、$\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$ という関数方程式を導出し、スケーリングによる数の一般化を実現する。
• Dirichlet 字符 $\chi$ を用いて、$\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ の枠組みを拡張する。$\chi$ は奇数の導手 $d$ を持つものとし、$\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$ と定義する。
• $L$-関数 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$ を定義し、$l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的Euler数を一般化し、$q=1$ で有限となる新しいクラスの $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$ を定義できるか？
• RQ2 $\mathcal{E}_{n,q}$ の $p$-進積分表現は何か？ また、不変 $q$-測度 $\mu_{-q}$ とどのように関係するか？
• RQ3 負の整数で $\mathcal{E}_{n,q}(x)$ を補間する $q$-zeta 関数を構成できるか？ その関数形は何か？
• RQ4 Dirichlet 字符 $\chi$ に付随する一般化された $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ はどのように振る舞い、その級数表現は何か？
• RQ5 $L$-関数 $l_q(s,\chi)$ と一般化された $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ の関係は何か？ また、古典的補間性質をどのように拡張するか？

主な発見

• 修正 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$ は $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$ および $n=0$ のとき $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$、それ以外の場合は 0 として定義され、$\lim_{q \to 1} \mathcal{E}_{n,q} = E_n$ を満たす。
• $\mathcal{E}_{n,q}(x)$ の生成関数は $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k e^{[k+x]_q t}$ であり、これにより明示的公式 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$ が得られる。
• $q$-zeta 関数 $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$ は、$n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ に対して $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$ を満たし、負の整数における補間を実現する。
• 奇数 $d$ に対して、関数方程式 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$ が成り立ち、スケーリングによる数の一般化が実現される。
• 一般化された $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ は $\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$ として与えられ、Dirichlet 字符への枠組みの拡張がなされる。
• $L$-関数 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$ は $l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$ を満たし、古典的補間性質の $q$-類似が確立される。