[論文レビュー] A note on the sums of powers of consecutive q-integers

Yılmaz Şimşek, D. Kim+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次バーナイスのベルヌーイ数および多項式のqアナログを構成し、シュロッサーの連続整数の累乗和のqアナログに関する未解決問題の一部を解決する。生成関数およびqベルヌーイ数を用いて、$ S_{m,n}(q) = \sum_{j=0}^{k-1} [j]_{q^2}[j]_q^{m-1} q^{(n+1)(k-j)/2} $ の一般式を導出し、ベルヌーイの古典的和公式のqアナログを確立する。

ABSTRACT

In this paper we construct the q-analogue of Barnes' Bernoulli numbers and plynomials of degree 2, which is an answer to a part of Schlosser's question. Finally, we treat the q-analogue of the sums of powers of consecutive integrs.

研究の動機と目的

• 連続整数の累乗和の一般qアナログの存在に関するシュロッサーの未解決問題の一部に応えること。
• T. キムの手法を用いて、2次バーナイスのベルヌーイ数および多項式のqアナログを構成すること。
• q累乗和 $ S_{m,n}(q) $ の一般閉形式式を導出すること。
• 生成関数のメリン変換を用いて新しいqゼータ関数を定義し、それらをqベルヌーイ数と関連付けること。

提案手法

• qベルヌーイ数 $ \beta_{n,k,q}^* $ を生成するため、生成関数 $ F_{k,q}^*(t) = -t \sum_{j=0}^\infty q^{k-j} [j]_{q^2} \exp(t[j]_q q^{(k-j)/2}) $ を定義する。
• 二項係数およびq級数恒等式を用いて、$ \beta_{n,k,q}^* $ の明示的公式を導出する。
• qベルヌーイ多項式 $ \beta_{n,k,q}^*(k) $ を生成するため、生成関数 $ F_{k,q}^*(t;k) = -t \sum_{j=0}^\infty q^{-j} [j+k]_{q^2} \exp(t[j+k]_q q^{-j/2}) $ を定義する。
• 差分 $ \frac{\beta_{n,k,q}^*(k) - \beta_{n,k,q}^*}{n} $ を用いて、$ S_{m,n}(q) $ の一般式を確立し、qベルヌーイ数と関連付ける。
• 生成関数にメリン変換を適用し、$ \text{Re}(s) > 2 $ に対して有効な $ q $-ゼータ関数 $ \zeta_{k,q}^*(s) $ および $ \zeta_{k,q}^*(s;k) $ を定義する。
• コーシーの留数定理を用いて、$ q $-ゼータ関数の負の整数における値をqベルヌーイ数と関連付ける：$ \zeta_{k,q}^*(1-n) = -\frac{\beta_{n,k,q}^*}{n} $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続整数の累乗和の一般qアナログを、バーナイスのベルヌーイ数および多項式のqアナログとして構成することは可能か？ これはシュロッサーのq和に関する未解決問題の一部を解決する。
• RQ2 q和 $ S_{m,n}(q) = \sum_{j=0}^{k-1} [j]_{q^2}[j]_q^{m-1} q^{(n+1)(k-j)/2} $ の一般閉形式式は存在するか？
• RQ3 生成関数のメリン変換を用いてqゼータ関数をどのように定義できるか？ また、それらはqベルヌーイ数とどのような関係にあるか？
• RQ4 $ q \to 1 $ の極限におけるq生成関数の極限は何か？ そして、古典的バーナイス二重ゼータ関数とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿は、公式 $ \beta_{n,k,q}^* = \left(\frac{1}{1-q}\right)^{n-1} \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} \frac{(-1)^m m q^{\frac{(n-1)(k-1)}{2} + k + m - 2}}{(1 - q^{m - \frac{n-1}{2} - 2})(1 - q^{m - \frac{n-1}{2}})} $ を用いて、バーナイスのベルヌーイ数のqアナログ $ \beta_{n,k,q}^* $ を構成する。
• qベルヌーイ多項式 $ \beta_{n,k,q}^*(k) $ は明示的に $ \frac{1}{[2]_q(1-q)^{n-2}} \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} (-1)^m \left( \frac{m q^{k(m-1)}}{1 - q^{m - \frac{n-1}{2} - 2}} - \frac{m q^{k(m+1)}}{1 - q^{m - \frac{n-1}{2}}} \right) $ として与えられる。
• q和 $ S_{n,k}(q) $ の一般式は $ S_{n,k}(q) = \frac{\beta_{n,k,q}^*(k) - \beta_{n,k,q}^*}{n} $ として導出され、ベルヌーイの和公式のqアナログを提供する。
• qゼータ関数 $ \zeta_{k,q}^*(s) $ はメリン変換により $ \sum_{n=0}^\infty \frac{[n]_{q^2} q^{\frac{(k-n)(2-s)}{2}}}{[n]_q^s} $ として定義され、$ \text{Re}(s) > 2 $ で収束する。
• qゼータ関数の負の整数における値は、qベルヌーイ数と関係づけられる：$ \zeta_{k,q}^*(1-n) = -\frac{\beta_{n,k,q}^*}{n} $。
• $ q \to 1 $ のとき、生成関数 $ F_{k,q}^*(t) $ は $ -F_2(t; -1; -1, -1) $ に収束し、古典的バーナイス二重ゼータ関数が回復される。