[論文レビュー] A note on toric degeneration of a Bott-Samelson-Demazure-Hansen variety

B. Narasimha Chary|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、トーリック幾何を用いて、Kac-Moody設定におけるボット＝サマーセルン＝デマール＝ハンセン（BSDH）多様体のトーリック退化を研究する。Fano、弱Fano、対数FanoなBSDH多様体とそのトーリック極限を、ウェイル群表現に関する組合せ的条件によって分類し、接バンドルおよびラインバンドルのコホモロジーに関する消失定理を証明し、[PK16]の結果をトーリック手法を用いて回復・拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of toric degeneration of a Bott-Samelson-Demazure-Hansen (BSDH) variety. We give some applications to BSDH varieties. Precisely, we classify Fano, weak Fano and log Fano BSDH varieties and their toric limits in Kac-Moody setting. We prove some vanishing theorems for the cohomology of tangent bundle (and line bundles) on BSDH varieties. We also recover the results in arXiv:1604.01998, by toric methods.

研究の動機と目的

• Kac-Moody設定におけるFano、弱Fano、対数FanoなBSDH多様体とそのトーリック極限を分類すること。
• BSDH多様体上の接バンドルおよびラインバンドルのコホモロジーに関する消失定理を証明すること。
• トーリック幾何的技法を用いて、[PK16]の結果を回復・拡張すること。
• トーリック極限を通じて、ウェイル群表現の組合せ論とBSDH多様体の幾何的性質との間の関係を確立すること。
• ボットタワー構造に由来する曲線類を用いて、トーリック極限のモーリー錐における極値線とモーリー線を特徴付けること。

提案手法

• トーリック幾何を用いて、BSDH多様体 $Z(\tilde{w})$ の極限となるトーリック多様体 $Y_{\tilde{w}}$ を分析する。
• $Y_{\tilde{w}}$ が、ランク2の分解可能ベクトルバンドルを用いた点上の繰り返し $\mathbb{P}^1$-バンドルであるボットタワーであることを特定する。
• 半連続性定理を適用し、トーリック極限 $Y_{\tilde{w}}$ の性質を元のBSDH多様体 $Z(\tilde{w})$ に移す。
• ウェイル群表現 $\tilde{w} = s_{\beta_1} \cdots s_{\beta_r}$ に対する組合せ的条件 $N^1_i$ と $N^2_i$ を導入し、Fanoおよび弱Fano性を特徴付ける。
• トーリッククリーマン基準とトーリックコーン定理を用いて、反 canonical バンドルの正則性を極値線における canonical バンドルの負性と関連付ける。
• [Ch18] のボットタワーに関する結果を応用し、曲線類 $L_{I_i}$ を用いてモーリー錐と極値線を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイル群表現 $\tilde{w}$ に対して、どのような組合せ的条件を満たせば、Kac-Moody設定におけるBSDH多様体 $Z(\tilde{w})$ がFanoまたは弱Fanoとなるか？
• RQ2 トーリック退化の下で、$Z(\tilde{w})$ 上の接バンドルおよびラインバンドルのコホモロジー群はどのように振る舞うか？
• RQ3 [PK16]におけるFanoおよび弱Fanoなトーリック極限に関する結果は、トーリック幾何を用いて回復・拡張可能か？
• RQ4 トーリック極限 $Y_{\tilde{w}}$ におけるモーリー錐 $\overline{NE}(Y_{\tilde{w}})$ の構造は何か？また、どの極値線がモーリー線であるか？
• RQ5 ボットタワー構造に由来する曲線類 $L_{I_i}$ は、どのようにモーリー錐を生成し、Fano性を決定づけるか？

主な発見

• ウェイル群表現 $\tilde{w}$ が条件 $I$ を満たすならば、トーリック極限 $Y_{\tilde{w}}$ とBSDH多様体 $Z(\tilde{w})$ は両方ともFanoである。
• もし $\tilde{w}$ が条件 $II$ を満たすならば、$Y_{\tilde{w}}$ と $Z(\tilde{w})$ は両方とも弱Fanoである。
• トーリック極限の正則錐 $Amp(Y_{\tilde{w}})$ は、$Amp(Z(\tilde{w}))$ の部分錐として特定される。
• 条件 $I$ を満たす $\tilde{w}$ に対して、$H^i(Z(\tilde{w}), T_{Z(\tilde{w})})$ の消失定理が成り立ち、先行研究をKac-Moody設定に拡張する。
• $\overline{NE}(Y_{\tilde{w}})$ の極値線はちょうど $L_{I_i}$ の類であり、これらは $N_1(Y_{\tilde{w}})_{\mathbb{Z}}$ の基底をなす。
• 滑らかで射影的なトーリック多様体がFanoであるための必要十分条件は、すべての極値線がモーリー線であることである。この基準は $Y_{\tilde{w}}$ に適用可能であり、Fano性の特徴付けに用いられる。