[論文レビュー] A novel algorithm for computing the Frechet mean in Hadamard spaces

Miroslav Bačák|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Morphological variations and asymmetry被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、分割プロキシマルポイント法と大数の法則のアプローチを用いて、ハダマード空間におけるフリードリヒ平均および幾何学的中央値を計算する、これまでに知られていた最初のアルゴリズムを提示する。ハダマード空間における収束性が確立され、特に木空間において、平均値および中央値の効率的計算が可能となり、多項式時間で測地線を計算できるため、実用的応用が可能である。

ABSTRACT

The geometric median as well as the Frechet mean of points in an Hadamard space are important in both theory and applications. Surprisingly, no algorithms for their computation are hitherto known. To address this issue, we use a split version of the proximal point algorithm for minimizing a sum of convex functions and prove that this algorithm produces a sequence converging to a minimizer of the objective function, which extends a recent result of D. Bertsekas (2001) into Hadamard spaces. The method is quite robust and not only does it yield algorithms for the median and the mean, but it also applies to various other optimization problems. We moreover show that another algorithm for computing the Frechet mean can be derived from the law of large numbers due to K.-T. Sturm (2002). In applications, computing medians and means is probably most needed in tree space, which is an instance of an Hadamard space, invented by Billera, Holmes, and Vogtmann (2001) as a tool for averaging phylogenetic trees. It turns out, however, that it can be also used to model numerous other tree-like structures. Since there now exists a polynomial-time algorithm for computing geodesics in tree space due to M. Owen and S. Provan (2011), we obtain efficient algorithms for computing medians and means, which can be directly used in practice.

研究の動機と目的

• ハダマード空間におけるフリードリヒ平均および幾何学的中央値を計算する、計算的に実行可能な最初のアルゴリズムを開発すること。
• D. バーツェカス（2001）のプロキシマルポイント収束結果を、ハダマード空間の設定に拡張すること。
• 系統樹の平均化という重要な応用分野である木空間における中央値および平均値の実用的計算を可能にすること。
• 提案手法の頑健性および、平均値・中央値の計算を超えるさまざまな最適化問題への広範な適用可能性を示すこと。

提案手法

• ハダマード空間における凸関数の和を最小化するために、プロキシマルポイント法の分割版が用いられる。
• 目的関数の最小化点へのアルゴリズムの収束が証明され、バーツェカスの結果がハダマード空間へ拡張される。
• フリードリヒ平均および幾何学的中央値を、最小化問題として定式化することで、この手法を適用する。
• フリードリヒ平均のための代替アルゴリズムは、K.-T. ストゥルム（2002）のハダマード空間における大数の法則から導出される。
• 木空間における測地線を多項式時間で計算できるという事実を活用する。
• プロキシマルポイント法と効率的な測地線計算の組み合わせにより、実世界の応用に即して使える、効率的なアルゴリズムが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フリードリヒ平均を計算する収束性を持つアルゴリズムを、これまでにそのようなアルゴリズムが存在しなかったハダマード空間で構築できるか？
• RQ2 プロキシマルポイント法を一般のハダマード空間の設定に適応させ、収束を保証する方法は何か？
• RQ3 ハダマード空間における大数の法則を用いて、フリードリヒ平均を計算する実用的アルゴリズムを導出できるか？
• RQ4 提案手法は、平均値・中央値の計算を越えて、他の最適化問題に対してもどれほど頑健で汎用的か？
• RQ5 測地線の多項式時間計算が可能であることを踏まえ、木空間におけるフリードリヒ平均および中央値はどの程度効率的に計算できるか？

主な発見

• 分割プロキシマルポイント法は、ハダマード空間において目的関数の最小化点に収束し、バーツェカス（2001）の結果が非ユークリッド的設定へ拡張された。
• このアルゴリズムにより、ハダマード空間におけるフリードリヒ平均および幾何学的中央値の、初めての実用的計算が可能になった。
• この手法は、ハダマード空間におけるさまざまな最適化問題に頑健かつ一般化可能である。
• ストゥルム（2002）のハダマード空間における大数の法則から、フリードリヒ平均のための代替アルゴリズムが導出され、第二の計算的手順が得られた。
• 木空間では、提案されたアルゴリズムと多項式時間での測地線計算の組み合わせにより、中央値および平均値の計算に直接使える効率的アルゴリズムが得られた。
• これらの結果は、木構造的データにおける中央値および平均値の計算の基盤を確立し、系統発生学やその他の分野への即時の応用が可能になった。