[論文レビュー] Averaging metric phylogenetic trees

Ezra Miller, Megan Owen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2012

Morphological variations and asymmetry参考文献 49被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、非正曲率の空間であるツリースペースの幾何構造を用いて、度合い付き系統発生樹のフレシェ平均を計算するための計算手法を開発する。ツリースペースは、ユークリッドの直交座標領域から成る非正曲率空間である。本研究では、分散関数の連続的微分可能性を可能にするツリースペースの多面体的分割を導入し、2つの反復的アルゴリズム—ストゥルムの大数の法則に基づくものと、凸多面体上の勾配降下法に基づくもの—を提案する。これらはいずれもフレシェ平均に収束する。

ABSTRACT

This paper investigates the computational geometry relevant to calculations of the Frechet mean and variance for probability distributions on the phylogenetic tree space of Billera, Holmes and Vogtmann, using the theory of probability measures on spaces of nonpositive curvature developed by Sturm. We show that the combinatorics of geodesics with a specified fixed endpoint in tree space are determined by the location of the varying endpoint in a certain polyhedral subdivision of tree space. The variance function associated to a finite subset of tree space is continuously differentiable within each cell of the corresponding subdivision. We use this subdivision to establish two iterative methods for producing sequences that converge to the Frechet mean: one based on Sturm's Law of Large Numbers, and another based on descent algorithms for finding optima of smooth functions on convex polyhedra. We present properties and biological applications of Frechet means and extend our main results to more general globally nonpositively curved spaces composed of Euclidean orthants.

研究の動機と目的

• 度合い付き系統発生樹のツリースペースにおけるフレシェ平均を計算可能な方法で開発すること。
• 固定端点を持つツリースペースにおける測地線の組合せ的構造を理解すること。
• 分散関数が連続的微分可能となる条件を確立すること。
• ユークリッドの直交座標領域から成る一般のグローバルに非正曲率の空間へのフレシェ平均の理論を拡張すること。
• 計算アルゴリズムを通じて、系統発生学におけるフレシェ平均の生物学的応用を提供すること。

提案手法

• 論文は、非正曲率空間上の確率測度のストゥルム理論を用いて、ツリースペースにおけるフレシェ平均と分散を定義する。
• 固定端点を持つ測地線の構造が、変動する端点の位置が各細胞内にあることに依存するように、ツリースペースの多面体的分割を構成する。
• この分割の各細胞内で、分散関数が連続的微分可能であることが示される。
• ストゥルムの大数の法則に基づく反復的アルゴリズムを提案し、フレシェ平均に収束させる。
• 滑らかな関数の凸多面体上での勾配降下法を用いた第二のアルゴリズムを提案し、分散関数を最小化する。
• 結果は、ユークリッドの直交座標領域から成る一般のグローバルに非正曲率の空間へと拡張され、系統発生樹を超えた枠組みの一般化がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の度合い付き系統発生樹のフレシェ平均を、ツリースペースでどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 一つの端点が固定された場合、ツリースペースにおける測地線の組合せ的構造は何かに依存するか？
• RQ3 ツリースペースのどの領域で分散関数が連続的微分可能か？
• RQ4 ツリースペースの幾何的構造を用いて、フレシェ平均に収束する反復的アルゴリズムを構築できるか？
• RQ5 ユークリッドの直交座標領域から成る一般の非正曲率空間へのフレシェ平均の理論をどのように拡張できるか？

主な発見

• 固定端点を持つツリースペースにおける測地線の構造は、特定の多面体的分割内の変動端点の位置に依存する。
• ツリースペースの有限部分集合に関連する分散関数は、対応する多面体的分割の各細胞内で連続的微分可能である。
• 2つの反復的アルゴリズムが確立され、フレシェ平均に収束する：1つはストゥルムの法則に基づき、もう1つは滑らかな凸関数の勾配降下法を用いる。
• ツリースペースのグローバルな非正曲率と分散関数の最小化の一意性のおかげで、フレシェ平均は適切に定義され、計算可能である。
• フレームワークは、ユークリッドの直交座標領域から成る一般のグローバルに非正曲率の空間へと拡張され、系統発生樹を超えた応用可能性が広がる。
• 提案された手法の計算的実行可能性と幾何的基盤のおかげで、系統発生学におけるフレシェ平均の生物学的応用が裏付けられる。