[論文レビュー] A Novel Distance-Based Approach to Constrained Rank Aggregation

Farzad Farnoud, Olgica Milenković+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2012

Machine Learning and Algorithms参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非一様な順位位置の重要性および候補者の類似性を組み込むために、KendallのtauおよびCayley距離を一般化する、制約付きランク集約のための新しい重み付き距離測度の族を提案する。近似による一般化スピアマンフットルール法（証明可能な定数倍の保証を有する）およびPageRankにインspiredされた非一様マルコフ連鎖法の2つのアルゴリズム的手法を導入し、理論的および実験的妥当性を裏付ける制約付き集約問題における性能向上を示している。

ABSTRACT

We consider a classical problem in choice theory -- vote aggregation -- using novel distance measures between permutations that arise in several practical applications. The distance measures are derived through an axiomatic approach, taking into account various issues arising in voting with side constraints. The side constraints of interest include non-uniform relevance of the top and the bottom of rankings (or equivalently, eliminating negative outliers in votes) and similarities between candidates (or equivalently, introducing diversity in the voting process). The proposed distance functions may be seen as weighted versions of the Kendall $τ$ distance and weighted versions of the Cayley distance. In addition to proposing the distance measures and providing the theoretical underpinnings for their applications, we also consider algorithmic aspects associated with distance-based aggregation processes. We focus on two methods. One method is based on approximating weighted distance measures by a generalized version of Spearman's footrule distance, and it has provable constant approximation guarantees. The second class of algorithms is based on a non-uniform Markov chain method inspired by PageRank, for which currently only heuristic guarantees are known. We illustrate the performance of the proposed algorithms for a number of distance measures for which the optimal solution may be easily computed.

研究の動機と目的

• トップ順位とボトム順位の非一様な重要性や候補者の類似性といった側面制約を扱う伝統的なランク集約手法の限界を解消すること。
• 古典的なKendallのtauおよびCayley距離を拡張し、制約付き投票シナリオにおいて公理的に正当化された距離測度を開発すること。
• これらの新しい測度に基づく距離ベースの集約のための効率的アルゴリズムを設計し、計算可能性と理論的性能保証を確保すること。
• 最適解が計算可能な問題に対して理論的分析と数値実験を通じて、提案手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 位置 s における隣接交換の重みとして減少関数 φ を用いた重み付き距離測度を提案し、KendallのtauおよびCayley距離を一般化する。
• 重み付き距離の一般化スピアマンフットルール近似を導出し、集約問題における定数倍近似保証を可能にする。
• PageRankにインspiredされた非一様マルコフ連鎖法を導入し、集約順位を計算する。ヒューリスティックな性能保証を有する。
• 公理的枠組みを用いて提案された距離関数の正当性を保証し、投票および集約において望ましい性質を満たすことを確認する。
• 重み付きKendall距離を、重み付きで順序が逆転しているペアの和として定義し、交換点以降の要素数に応じた重みを付けることで、位置の重要性を捉える。
• 重み付き測度下での恒等置換と一様ランダム置換との期待距離について、調和数および組合せ確率を用いて閉形式の式を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク集約における距離測度は、トップ順位に高い重みを割り当てるなど、順位位置の非一様な重要性をどのように一般化できるか？
• RQ2 投票集約における公平性と一貫性を保証するため、制約付き距離測度が満たすべき公理的性質は何か？
• RQ3 証明可能な性能保証を有する重み付きランク集約のための効率的近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 距離測度に候補者の類似性や多様性を組み込むと、集約順位の質と安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案された重み付き距離関数下で、ランダム置換と恒等置換との期待距離は何か？

主な発見

• 提案された重み付き距離測度は、KendallのtauおよびCayley距離を一般化しており、重み付きKendall距離は標準的なKendall距離に加えて、トップ順位の重み付けを反映する補正項を含む。
• 重み関数 φ(s) = n−s の場合、恒等置換と一様ランダム置換との期待距離は ∑k=1n−1 k²(Hn − Hk) = ½C(n,2) + ²⁄₃C(n,3) であり、非重み付きの場合より大きい。
• 一般化スピアマンフットルール近似は、重み付きランク集約問題に対して定数倍近似保証を提供する。
• PageRankにインスパイされた非一様マルコフ連鎖法は、理論的性能保証が現在ないヒューリスティックな集約手法を提供する。
• 理論的分析により、重み付き距離関数が制約付き集約における有効な距離測度の公理を満たしており、一貫性と公平性を保証することが示された。
• 数値結果により、トップに偏ったまたは多様な候補者の好みがある状況において、提案手法が標準的手法を上回ることが確認された。