[論文レビュー] A novel formulation of the PBH mass function

Teruaki Suyama, Shuichiro Yokoyama|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、標準的なPBH形成基準に追加の物理的条件を導入することで、初期ブラックホール（PBH）質量関数の概念的に厳密な新しい定式化を提案する。これにより、従来の微分形式における長年の曖昧さが解消される。この手法により、1次元のガウス初期フラクチュエーション上での関数的積分を用いた形式的・明確なPBH質量関数の計算が可能となり、誤差関数を用いた閉形式の解析的表現が得られる。

ABSTRACT

Computations of the primordial black hole (PBH) mass function discussed in the literature have conceptual issues. They stem from that the mass function is a differential quantity and the standard criterion of the PBH formation from the seed primordial fluctuations cannot be directly applied to the computation of the differential quantities. We propose a new criterion of the PBH formation which is an addition of one extra condition to the existing one. By doing this, we derive a formal expression of the PBH mass function without introducing any ambiguous interpretations which exist in the previous studies. Once the underlying primordial fluctuations are specified, the PBH mass function can be in principle determined by the new formula. As a demonstration of our formulation, we compute the PBH mass function analytically for the case where the perturbations are Gaussian and the space is one dimension.

研究の動機と目的

• 既存のPBH質量関数の定式化における概念的曖昧さを解消すること。これらは、微分量（質量関数）を扱うが、微分計算に本質的に適さない基準に基づいている。
• アドホックな解釈を必要としない、物理的に妥当で数学的に整合性のあるPBH形成基準を構築し、質量関数が自然に導かれるようにすること。
• 任意の基本的パワー スペクトルに対して有効な、初期密度フラクチュエーション上での関数的積分としてのPBH質量関数の形式的表現を提供すること。
• 1次元のガウス分布の初期摂動に対して、この定式化を解析的に計算することでその実行可能性を示すこと。

提案手法

• 密度対比の標準的閾値条件に加え、局所的曲率またはコンパクション関数への制約を追加することで、新しいPBH形成基準を導入する。
• ゲージ不変性とスケール不変性を保証するため、コンパクション関数 $\mathcal{C}(r)$ を形成閾値を定義する主要な変数として用いる。
• PBH質量関数を、初期場 $\theta$ 上での関数的積分として定式化し、式 (18) を用いて結合確率密度 $P[\theta]$ で重みづけられる。
• 1次元のガウス場にこの手法を適用するため、場およびその導関数の特性関数を計算し、多次元ガウス積分に帰着させる。
• ガウス積分の性質と補完誤差関数を用いて、得られた関数的積分を解析的に評価し、式 (32) を得る。
• 場の導関数の共分散行列の逆行列と閾値 $\theta_{\rm th}$ を用いて、PBH質量関数の最終的な表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピーク理論やPress-Schechter形式に基づく従来の手法に見られる概念的曖昧さを回避するには、どのようにしてPBH質量関数を定式化できるか？
• RQ2 微分量（例えば質量関数）を計算する際の整合性を保つために、標準的なPBH形成基準に追加で何の物理的条件を課すべきか？
• RQ3 関数的積分を用いて初期フラクチュエーション上から、形式的に曖昧さのないPBH質量関数を第一原理から導出できるか？
• RQ4 新しい定式化を1次元のガウス初期パワー スペクトルに適用した場合、どのような解析的結果が得られるか？
• RQ5 新しい基準は、スピン分布や2点相関関数などの他のPBH統計的性質を計算するために拡張可能か？

主な発見

• 提案された定式化により、従来のPBH質量関数計算に伴う概念的曖昧さが、物理的に妥当な追加条件の導入によって解消される。
• PBH質量関数は関数的積分（式 18）として表現され、これは基本的な初期フラクチュエーション統計にのみ依存するため、形式的に明確に定義されている。
• 1次元のガウス初期フラクチュエーションに対して、質量関数は解析的に計算され、補完誤差関数および行列の不変量を用いた形で表現される（式 32）。
• 結果として、質量関数は場の導関数の2次および3次モーメントに依存し、行列 $M_{ij}$ および $B_{ij}$ に符号化され、閾値 $\theta_{\rm th}$ に依存する。
• この定式化は他の統計的量へも一般化可能である。スピン分布や2点相関関数は、デルタ関数的制約および閾値条件を変更することで導出可能である。
• この手法は、特に従来の手法が失敗する広帯域パワー スペクトルの状況において、初期パワー スペクトルおよびインフレーションモデルに対する強固な制約を確立する基盤を提供する。