[論文レビュー] A numerical analysis focused comparison of several Finite Volume schemes for an Unipolar Degenerated Drift-Diffusion Model

Clément Cancès, Claire Chainais-Hillairet+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 35被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、化学ポテンシャル h(c) = log(c/(1−c)) を有する一価不活性ドリフト拡散モデルに対する4つの有限体積法スキームの比較的数値解析を提示する。これらのスキームは、中心差分、Sedan、Bessemoulin-Chatard、および活性度に基づく異なるフラックス定式化に依拠しており、移動度 η(c) = c を用いる。研究では2つのスキームについて安定性、存在性、収束性を確立し、数値実験によりSedanおよびBessemoulin-Chatardスキームが正性およびエントロピー構造を優れた性能で保持することが示された。

ABSTRACT

In this paper, we consider an unipolar degenerated drift-diffusion system where the relation between the concentration of the charged species $c$ and the chemical potential $h$ is $h(c)=\log \frac{c}{1-c}$. We design four different finite volume schemes based on four different formulations of the fluxes. We provide a stability analysis and existence results for the four schemes. The convergence proof with respect to the discretization parameters is established for two of them. Numerical experiments illustrate the behaviour of the different schemes.

研究の動機と目的

• h(c) = log(c/(1−c)) を有する一価不活性ドリフト拡散モデルに対する4つの有限体積法スキームの分析および比較を行う。
• すべての4つのスキームについて安定性および存在性の結果を確立する。
• 中心差分およびSedanスキームについて、離散化パラメータに関する収束性を証明する。
• 正性やエントロピー構造といった物理的性質の保持に関するスキームの数値的性能を評価する。
• 多成分イオン液体および固体酸化物電解質モデルへのフレームワークの拡張に基盤を提供する。

提案手法

• 中心差分、Sedan、Bessemoulin-Chatard、および活性度に基づく異なるフラックス定式化に依拠する4つの有限体積法スキームを提案する。
• フラックス恒等式 J = −c∇(h(c) + Φ) を用い、h(c) = log(c/(1−c)) および η(c) = c を設定する。
• エントロピー構造解析を適用して、すべてのスキームについて安定性および存在性の結果を導出する。
• 離散的エントロピー推定とコンパクト性の議論を用いて、中心差分およびSedanスキームの収束性を確立する。
• 面における濃度関数形 C を導入し、それらを基準関数形 eC と比較して一貫性を評価する。
• 数値実験を実施し、正性の保持、収束速度、エントロピーの減衰を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限体積法スキームが c → 1− の不活性領域において濃度 c の正性を最もよく保持するか？
• RQ2 異なるフラックス定式化は、数値スキームの収束性および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 SedanおよびBessemoulin-Chatardスキームは、不活性極限においてエントロピー構造を維持し、物理的に不適切な振動を避けることができるか？
• RQ4 面における濃度関数形とスキームの一貫性との関係は何か？
• RQ5 収束速度およびエントロピーの減衰という観点から、スキームの数値的性能はいかがであるか？

主な発見

• SedanおよびBessemoulin-Chatardスキームは、中心差分および活性度ベースのスキームと比較して、正性の保持およびエントロピーの減衰において優れた性能を示した。
• 離散的エントロピー推定とコンパクト性の議論を用いて、中心差分およびSedanスキームについて収束性が厳密に証明された。
• Sedanスキームにおける面濃度関数形 C は、基準関数形 eC に対して一様に有界であり、一貫性が保証された。
• 活性度ベースのスキームは、cK/cL → ∞ の極限において比が有界でないため、不等式 (C.2) を満たさない。
• 数値実験により、SedanおよびBessemoulin-Chatardスキームがエントロピー構造を維持し、物理的に不適切な振動を回避することが確認された。
• 中心差分スキームは単純であるが、c = 1 の近傍で条件数が悪いため、不活性領域では最適でない挙動を示した。