[論文レビュー] A one-dimensional Hadamard walk with one defect

Takako Endo, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、原点に1つの欠陥を有する1次元離散時間量子ウォークを研究する。ここで、位置0における量子コインは標準のハダマール行列とは異なる。空間時間生成関数法を用いて、時間平均化極限測度が原点に関して対称的であり、初期コイン状態に依存しないことを示し、局在化が唯一、欠陥パラメータξに依存することを示した。測度は明示的に計算され、正規化され、非一様であることが示され、すべての位置x ∈ ℤに対して解析的表現が得られた。

ABSTRACT

We consider a one-dimensional space-inhomogeneous discrete time quantum walk. This model is the Hadamard walk with one defect at the origin which is different from the model introduced by Wojcik et al. [14]. We obtain a stationary measure of the model by solving the eigenvalue problem and an asymptotic behaviour of the return probability by the path counting approach. Moreover, we get the time-averaged limit measure using the space-time generating function method. The measure is symmetric for the origin and independent of the initial coin state at the starting point. So localization depends only on the parameter which determines the model.

研究の動機と目的

• 原点に1つの欠陥を有する1次元離散時間量子ウォークのダイナミクスを調査すること。これはウォイチクモデルとは異なる。
• 空間時間生成関数法を用いて時間平均化極限測度を導出すること。このモデルでは、これにより定常測度は得られない。
• 時間平均化極限測度が原点に関して対称的であり、初期コイン状態に依存しないことを示し、局在化が唯一、欠陥パラメータξに依存することを示すこと。
• 定常測度および時間平均化測度の観点から、本モデルとウォイチクモデルを比較し、初期状態依存性およびコイン行列の行列式の振る舞いにおける差異を強調すること。

提案手法

• モデルは位置に依存するユニタリ行列を用いて定義される。x ≠ 0ではハダマール行列H、x = 0では角度ξの回転行列を用いる。
• 定常測度は、分割生成関数（SGF）法を用いて得られ、振幅ベクトルの固有値問題を解く。
• 帰還確率振幅の漸近的挙動は、経路数え上げ法を用いて分析され、組合せ的表現が得られる。
• 時間平均化極限測度は、空間時間生成関数法を用いて導出され、生成関数の単位円上の極における留数計算を含む。
• 各位置xに対して生成関数Ξ̃_x(z)が構成され、測度は単位円上の4つの極における留数の二乗和から抽出される。
• 最終的な測度は、ξの関数として閉形式で表され、|x|およびパラメータS = sinξに明示的な依存関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に1つの欠陥が存在する場合、1次元ハダマール量子ウォークの長時間挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 この欠陥モデルにおける時間平均化極限測度の構造は何か？また、定常測度と比較するとどうなるか？
• RQ3 時間平均化極限測度は初期コイン状態に依存しないのか？もしそうであるならば、これにより局在化に何が示唆されるか？
• RQ4 行列式の振るまいおよび測度の依存性の観点から、本モデルはウォイチクモデルとどのように異なるか？
• RQ5 空間時間生成関数法は、定常測度が得られないにもかかわらず、このモデルにおいて時間平均化極限測度を効果的に導出できるか？

主な発見

• 時間平均化極限測度は原点に関して対称的であり、すべてのx ∈ ℤに対してμ̄_∞(x) = μ̄_∞(−x)を満たす。
• 測度は初期コイン状態φ = [α, β]^Tに依存しない。これは、局在化が欠陥パラメータξにのみ依存することを意味する。
• x ≠ 0に対して、測度はμ̄_∞(x) = C(ξ) · (1/(3 − 2√2 sinξ))^|x|で与えられる。ここでC(ξ) = 2(2 − √2 sinξ)(1 − √2 sinξ)^2 / (3 − 2√2 sinξ)^2である。
• x = 0に対して、測度はμ̄_∞(0) = 2(1 − √2 sinξ)^2 / (3 − 2√2 sinξ)^2で与えられ、ξ ∈ [0, π/4)の範囲でのみ有効である。
• 全測度は正規化され、1未満である：∑_x∈ℤ μ̄_∞(x) = 2(1 − √2 sinξ)/(3 − 2√2 sinξ) < 1。
• 結果はCGMV法と一致し、時間平均化極限測度が定常測度の一般化であることを確認した。ただし、このモデルでは空間時間生成関数法により定常測度は導出できない。