[論文レビュー] A pairing between graphs and trees

Dev Sinha|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、ツリーとグラフの間に標準的なペアリングを導入し、ヤコビ恒等式およびアーノルド恒等式による商に関して完全な双対性をもたらし、リーおよびポアソンのオペラッドに対する標準的双対を提供する。このペアリングにより、余自由リー双代数の明示的モデルが得られ、ポアソンオペラッドのコオペラッドが元のオペラッドよりも取り扱いやすいことが明らかになる。応用は代数的トポロジーおよびホモロジー代数に及ぶ。

ABSTRACT

We develop a canonical pairing between trees and graphs, which passes to their quotients by Jacobi identities. This pairing is an effective and simple tool for understanding the Lie and Poisson operads, providing canonical duals. In the course of showing that this pairing is perfect we reprove some standard facts about the modules Lie(n), establishing standard bases as well as giving a new means to reduce to those bases. We then move on to define duals to free Lie algebras and to develop product, coproduct and operad structures. We give a brief account here to be built on in a number of different directions in future work.

研究の動機と目的

• ヤコビ恒等式およびアーノルド恒等式といった基本的な代数的恒等式を尊重する、ツリーとグラフの間の標準的かつ完全なペアリングを確立すること。
• ヤコビおよびアーノルド恒等式による商を用いて、リーおよびポアソンのオペラッドに対する標準的双対を提供すること。
• テンソル代数埋め込みに依存せずに、余自由リー双代数の明示的モデルを構成すること。
• ポアソンオペラッドの双対コオペラッドが、元のポアソンオペラッド自体よりも取り扱いやすいことを示すこと。
• 位相的配置空間を用いて、自由リー代数およびオペラッド理論における既存の構成を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• ツリーにおける辺パスの底点と、底点における向きの規約に基づく符号を用いて、配置ペアリング ⟨G, T⟩ を定義する。
• 自由モジュール Θₙ および Γₙ におけるツリーおよびグラフの上に、このペアリングを線形に拡張する。
• ペアリングがヤコビおよび対称性の組み合わせにおいて消えることを証明し、ヤコビおよびアーノルド恒等式による商を通じて因数分解されることを示す。
• 商上の完全ペアリングを通じて、リー・オペラッドとその双対の間の双対性を確立する。
• ツリーの準同型およびペアリングとの整合性を用いて、グラフおよびフォレストのモジュールにオペラッドおよびコオペラッド構造を定義する。
• 括弧式およびツリーの融合を用いて、ペアリングをネストされた括弧および内側の括弧ペアの観点から解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビおよびアーノルドといった基本的な代数的恒等式を尊重する、ツリーとグラフの間の標準的ペアリングを構成可能か？
• RQ2 このペアリングが、ヤコビおよびアーノルド恒等式による自由モジュールの商上で完全な双対性をもたらすか？
• RQ3 このペアリングを用いて、テンソル代数埋め込みに依存しない余自由リー双代数の標準的モデルを定義可能か？
• RQ4 ポアソンオペラッドの双対コオペラッドは、元のポアソンオペラッド自体よりも取り扱いやすいか？
• RQ5 ペアリングは、フォレストおよびグラフ上のオペラッドおよびコオペラッド構造とどのように作用するか？

主な発見

• ペアリング ⟨G, T⟩ は、Θₙ および Γₙ のヤコビおよびアーノルド恒等式による商上で完全である。これにより、リー・オペラッドとポアソン・オペラッドの間の標準的双対性が確立される。
• ペアリングはすべてのヤコビ組み合わせおよび対称性組み合わせにおいて消えることが確認され、商を通じて因数分解されることを裏付ける。
• オペラッド構造写像 fₜₐᵤ とその双対 gₜₐᵤ は、⟨D, fₜₐᵤ(⊗Bᵥᵢ)⟩ = ⟨gₜₐᵤ(D), ⊗Bᵥᵢ⟩ₜₑₙₛₒᵣ を満たし、合成においてペアリングを保存する。
• ポアソンオペラッドの双対コオペラッドは、基底削減においてライブニッツ則の必要がないため、元のポアソンオペラッドよりも取り扱いやすい。
• ペアリングにより、テンソル代数への埋め込みなしに関数形式として定義される、余自由リー双代数の標準的モデルが得られる。
• 配置ペアリングは、ユークリッド空間内の配置空間のホモロジーおよびコホモロジーから自然に生じ、代数と位相の間の関係を結ぶ。