[論文レビュー] Deformations of algebras over operads and Deligne's conjecture

Maxim Kontsevich, Yan Soibelman|ArXiv.org|Jan 26, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 93

ひとこと要約

本稿は、$A_\infty$代数のHochschildコホホロジーの変形理論に、Grothendieck-Teichmüller群のホモトピー的作用を確立し、小円のoperadの自由な自由分解を用いてDeligne予想を証明するとともに、配置空間のFulton-MacPhersonコンパクト化を通じてHochschild複体に作用するoperad $M$ を構成する。

ABSTRACT

In present paper we develop the deformation theory of operads and algebras over operads. Free resolutions (constructed via Boardman-Vogt approach) are used in order to describe formal moduli spaces of deformations. We apply the general theory to the proof of Deligne's conjecture. The latter says that the Hochschild complex of an associative algebra carries a canonical structure of a dg-algebra over the chain operad of the little discs operad. In the course of the proof we construct an operad of geometric nature which acts on the Hochschild complex. It seems to be different from the brace operad (the latter was used in the previous approaches to the Deligne's conjecture). It follows from our results that the Grothendieck-Teichmüller group acts (homotopically) on the moduli space of structures of 2-algebras on the Hochschild complex. In the Appendix we develop a theory of piecewise algebraic chains and forms. It is suitable for real semialgebraic manifolds with corners (like Fulton-Macpherson compactifications of the configuration spaces of points).

研究の動機と目的

• operad上の代数の変形理論を形式的点付きdg多様体を用いて定式化すること。
• 非可換的および$A_\infty$代数の変形理論に現れるGrothendieck-Teichmüller群の起源を説明すること。
• コンパクト化された配置空間を通じて小円のoperadがHochschild複体に作用することを構成し、Deligne予想を証明すること。
• GT作用を通じてモチーフ的ガロア群、周期、および量子化代数のモジュライ空間を結びつける関係を確立すること。
• 角を持つ実代数的多様体のための区分的代数的チェイン理論を導入し、配置空間のコンパクト化に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 代数のoperad上の変形函手を制御するための形式的点付きdg多様体を構成する。
• 代数の自由分解の代わりに、Boardman-Vogtのインスピレーションを受けてoperadの自由分解を用いて変形理論をモデル化する。
• Hochschild複体 $C^\bullet(A,A)$ に作用するoperad $M$ を定義し、Fulton-MacPhersonコンパクト化を介して小円のoperadと準同型的であることを示す。
• 実代数的多様体の角を持つ場合の区分的代数的チェイン理論を適用し、証明における積分および形式的性の取り扱いを可能にする。
• Grothendieck-Teichmüller群のホモトピー的作用を、Hochschild複体上の $E_2$-構造のモジュライ空間に確立する。
• 特徴が0の環境において、多様体の理論的構成を形式化するための多項式関手と対称群作用の枠組みを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 operad上の代数の変形理論を形式的点付きdg多様体を用いてどのように定式化できるか？
• RQ2 なぜGrothendieck-Teichmüller群は$A_\infty$代数のHochschildコホホロジー複体にホモトピー的に作用するのか？
• RQ3 Deligne予想を実現するHochschild複体上の正確なoperad的構造は何か？
• RQ4 変形量子化の公式における係数は、周期およびモチーフ的ガロア群とどのように関係しているか？
• RQ5 Deligne予想の証明を、小円のoperadの高次元版に一般化できるか？

主な発見

• $A_\infty$代数のHochschild複体 $C^\bullet(A,A)$ は、自然に小円のoperadの作用を持つ。これはDeligne予想の確認である。
• Grothendieck-Teichmüller群は、小円のoperadと準同型的なoperad $M$ を介して、$C^\bullet(A,A)$ 上の $E_2$-代数構造のモジュライ空間にホモトピー的に作用する。
• operad $M$ は、平面上の点の配置空間のFulton-MacPhersonコンパクト化を用いて構成される。
• 区分的代数的チェイン理論は、角を持つ実代数的多様体上での積分および形式的性の証明に適した枠組みを提供する。
• Kontsevichの変形量子化公式における係数は、$\mathbb{Q}$ 上の代数的多様体の周期であり、混合テイター・モチーフと関係している。
• Grothendieck-Teichmüller群のHochschild複体への作用は、Kontsevich (2000, [Ko3]) で述べられたモチーフ的ガロア群作用と整合的である。