[論文レビュー] A Pasting Lemma I: the case of vector fields

Alexander Arbietoand, Carlos Matheus|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の$C^1$体積保存ベクトル場に対して$C^1$-貼り合わせ補題を確立し、局所的な摂動を可能にするとともに、体積と$C^1$-近さを全球的に保つ。主な貢献は、$C^\infty$体積保存ベクトル場が$C^1$体積保存クラスにおいて$C^1$-稠密であることを証明することであり、3次元多様体上のロバストに推移的で保存的流れはアノソフでなければならないこと、幾何学的にローレンツ型の集合が存在しないことである。

ABSTRACT

We prove a perturbation (pasting) lemma for conservative (and symplectic) systems. This allows us to prove that $C^{\infty}$ volume preserving vector fields are $C^1$-dense in $C^{1}$ volume preserving vector fields (After the conclusion of this work, Ali Tahzibi pointed out to us that this result was proved in 1979 by Carlos Zuppa, although his proof is different from ours.). Moreover, we obtain that $C^1$ robustly transitive conservative flows in three-dimensional manifolds are Anosov and we conclude that there are no geometrical Lorenz-like sets for conservative flows. Also, by-product of the version of our pasting lemma for conservative diffeomorphisms, we show that $C^1$-robustly transitive conservative $C^2$-diffeomorphisms admits a dominated splitting, thus solving a question posed by Bonatti-Diaz-Pujals. In particular, stably ergodic diffeomorphisms admits a dominated splitting.

研究の動機と目的

• 位相空間のコンパクト部分集合上における$C^2$保存的力学系に対する、強固な摂動（貼り合わせ）補題の開発。
• $C^1$体積保存クラス内での$C^\infty$体積保存ベクトル場の$C^1$-稠密性の確立。
• 3次元多様体上でのロバストに推移的で保存的な流れが必然的にアノソフでなければならないことの証明。
• $C^1$-ロバストに推移的で$C^2$保存的微分同相写像が分離的分解をもつことの証明。ボナティ・ダイアス・プジャルズの問いを解決。
• 貼り合わせ補題を保存的微分同相写像へ拡張し、安定的混合系への帰結を導出。

提案手法

• Dacorogna-Moserの定理を用いて、$C^{k+\alpha}$正則性を持つ微分同相写像の発散方程式およびヤコビアン方程式の可解性を扱う。
• $C^\infty$分割関数を用いて、コンパクト集合$K$上に$C^{1+\alpha}$場$Y$を$C^1$場$X$に貼り付けることで、$C^1$-近いが全球的で体積保存なベクトル場を構成する。
• 多様体の被覆である$K$の近傍$V$とやや小さい近傍の補集合に対して、部分的分割関数を構成し、滑らかな遷移を保証する。
• 発散自由ベクトル場が発散方程式の解を用いて変更可能であるという事実を応用し、貼り合わせ補題を用いて局所的流れの摂動を実行し、体積と$C^1$-近さを維持する。
• 同宿軌道の議論を背理法で用いて、3次元保存的流れにおけるロバストな推移性がアノソフ構造を意味することを示す。
• $C^1$-ロバストに推移的で$C^2$保存的微分同相写像が分離的分解をもつことの証明に、貼り合わせ補題を応用し、残渣的集合と同宿クラスの連続性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$C^\infty$体積保存ベクトル場は、$C^1$体積保存ベクトル場により$C^1$-近似可能か？
• RQ2 3次元多様体上でのロバストに推移的で保存的な流れは必然的にアノソフか？
• RQ3 幾何学的にローレンツ型の集合は、3次元多様体上での保存的流れに存在するか？
• RQ4 $C^1$-ロバストに推移的で保存的$C^2$-微分同相写像は分離的分解をもつのか？
• RQ5 体積と$C^1$-近さを全球的に保つ保存的系のための貼り合わせ補題を構築可能か？

主な発見

• $C^1$-貼り合わせ補題により、任意の$C^1$体積保存ベクトル場が$C^\infty$体積保存ベクトル場により$C^1$-近似可能であることが保証される。
• 3次元多様体上でのロバストに推移的で保存的な流れは必然的にアノソフであり、特異的カオス的またはローレンツ型の力学的構造は存在しない。
• 幾何学的にローレンツ型の集合は、3次元多様体上での保存的流れには存在しない。このような集合は平衡点を要するが、ロバストに推移的で保存的系では平衡点は排除される。
• $C^1$-ロバストに推移的で$C^2$保存的微分同相写像は分離的分解をもつ。ボナティ・ダイアス・プジャルズの予想が確認された。
• 安定的混合微分同相写像は、貼り合わせ補題を保存的微分同相写像に適用した結果、分離的分解をもつ。
• 貼り合わせ補題の構成は、体積と$C^1$-近さを保ち、摂動が$C^\infty$であれば結果の場も$C^\infty$であることを保証する。