[論文レビュー] A Path Integral Approach to Derivative Security Pricing: I. Formalism and Analytical Results

M. Rosa-Clot, Stefano Taddei|RePEc: Research Papers in Economics|Jan 26, 1999

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、状態依存のドリフトおよびボラティリティを伴う1次元および多次元設定において、誘導証券の価格設定のための経路積分形式を導入し、確率的微分方程式（SDE）および偏微分方程式（PDE）と同等であることを確立する。共変形式を用いることで一般座標変換が可能となり、連続時間金融におけるデリバティブの価格設定のための新たな計算フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We use a path integral approach for solving the stochastic equations underlying the financial markets, and we show the equivalence between the path integral and the usual SDE and PDE methods. We analyze both the one-dimensional and the multi-dimensional cases, with point dependent drift and volatility, and describe a covariant formulation which allows general changes of variables. Finally we apply the method to some economic models with analytical solutions. In particular, we evaluate the expectation value of functionals which correspond to quantities of financial interest.

研究の動機と目的

• 金融市場における誘導証券価格設定のための経路積分フレームワークを構築すること。
• 1次元および多次元モデルにおける経路積分、SDE、PDEアプローチの間の同等性を示すこと。
• 一般変数変換を可能にする共変形式を導入すること。
• 経路積分法を用いて金融モデルの解析的解を導出すること。
• 経路積分技術を用いて金融関数型の期待値を評価すること。

提案手法

• アセット価格の確率的過程を、Fokker-Planck方程式を出発点として形式化する。
• Feynman-Kac公式を用いてFokker-Planck方程式を経路積分表現に変換する。
• 経路積分形式を1次元および多次元の拡散過程の両方に適用する。
• 状態空間における一般座標変換を処理するための共変形式を導入する。
• 経路積分を用いて金融モデルにおけるペイオフ関数型の期待値を計算する。
• 幾何ブラウン運動などの標準的モデルにおける既知の解析的解と整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路積分形式は、金融市場におけるデリバティブ価格設定に体系的に適用可能か？
• RQ2 SDEおよびPDE手法と比較して、経路積分アプローチは同等性および計算的有用性においてどのように異なるか？
• RQ3 多次元モデルにおける経路積分計算の簡略化に、座標変換は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ4 標準的金融モデルに対して、経路積分法を用いて解析的解を導出できるか？
• RQ5 金融ペイオフ関数型は、経路積分フレームワーク内でどのように表現され、評価されるか？

主な発見

• 経路積分形式は、誘導証券価格設定における標準的なSDEおよびPDEアプローチと数学的に同等である。
• 本手法は、幾何ブラウン運動などの既知の解析的解を正確に再現する。
• 共変形式により、一般の変数変換が可能となり、経路積分の構造が保持される。
• 金融関数型の期待値は経路積分を介して計算され、新たな計算ルートを提供する。
• ドリフトおよびボラティリティが点依存の多次元モデルにも適用可能である。
• 形式的定式化により、統計力学的手法と金融モデリングを統合する統一的なフレームワークが提供される。