[論文レビュー] A physics-informed variational DeepONet for predicting the crack path in brittle materials

Somdatta Goswami, Minglang Yin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 43被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、偏微分方程式の弱形式に基づく変分法的フレームワークと深層作用素ネットワークを統合することで、破壊的材料におけるき裂経路の高速かつ高精度な予測を実現する物理則に基づく変分的DeepONet（V-DeepONet）を提案する。物理的法則（偏微分方程式の弱形式を介して）と限定的なラベル付きデータの両方を用いて訓練されたV-DeepONetは、多様な初期き裂配置および荷重条件において、補間および外挿の両面で高い精度を達成し、最先端の代替モデルを上回る性能を示す。

ABSTRACT

Failure trajectories, identifying the probable failure zones, and damage statistics are some of the key quantities of relevance in brittle fracture applications. High-fidelity numerical solvers that reliably estimate these relevant quantities exist but they are computationally demanding requiring a high resolution of the crack. Moreover, independent intensive simulations need to be carried out even for a small change in domain parameters and/or material properties. Therefore, fast and generalizable surrogate models are needed to alleviate the computational burden but the discontinuous nature of fracture mechanics presents a major challenge to developing such models. We propose a physics-informed variational formulation of DeepONet (V-DeepONet) for brittle fracture analysis. V-DeepONet is trained to map the initial configuration of the defect to the relevant fields of interests (e.g., damage and displacement fields). Once the network is trained, the entire global solution can be rapidly obtained for any initial crack configuration and loading steps on that domain. While the original DeepONet is solely data-driven, we take a different path to train the V-DeepONet by imposing the governing equations in variational form and we also use some labelled data. We demonstrate the effectiveness of V-DeepOnet through two benchmarks of brittle fracture, and we verify its accuracy using results from high-fidelity solvers. Encoding the physical laws and also some data to train the network renders the surrogate model capable of accurately performing both interpolation and extrapolation tasks, considering that fracture modeling is very sensitive to fluctuations. The proposed hybrid training of V-DeepONet is superior to state-of-the-art methods and can be applied to a wide array of dynamical systems with complex responses.

研究の動機と目的

• 破壊的材料における高精度な破壊シミュレーションの高い計算コストを低減すること。
• 代替モデルの構築において、不連続的かつ感度の高い応答を示す破壊力学の課題を克服すること。
• さまざまな初期条件および材料パラメータにわたるき裂経路予測のための高速で一般化可能かつ高精度な代替モデルを開発すること。
• 変分的フレームワークによる物理的法則と限定的なデータを深層作用素ネットワークに統合し、一般化性能を向上させること。
• 最小限の再訓練で、工学的応用における効率的な不確実性評価と予測を可能にすること。

提案手法

• 支配的偏微分方程式の弱形式から導かれる変分的エネルギー汎関数を用いて、フェーズフィールド破壊問題を定式化する。
• 分岐ネットワークと本体ネットワークを備えたDeepONetアーキテクチャを訓練する：分岐ネットワークは初期き裂配置と履歴を符号化し、本体ネットワークは評価点における解場をマッピングする。
• 物理的制約（変分的エネルギー最小化）と高精度なシミュレーションから得たラベル付きデータを組み合わせたハイブリッド損失関数を実装する。
• ネットワーク重みにXavier初期化を適用し、勾配ベースの最適化手法を用いて損失関数を最適化することで、初期条件から全場応答への解作用素Gθを学習する。
• 予測されたエネルギー状態を次の時間ステップの入力としてフィードバックすることで、き裂進化の逐次的予測を可能にする。
• 高精度な等階層的有限要素法（IGA）シミュレーションを基準として、性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理則に基づくDeepONetモデルは、最小限のラベル付きデータで破壊的材料におけるき裂経路を正確に予測できるか？
• RQ2 V-DeepONetは、トレーニング時に見なかった分布外の初期き裂配置（例：lc = 0.65 mm）および荷重ステップに対してどれほど一般化できるか？
• RQ3 支配的方程式の変分的定式化は、破壊予測における深層作用素ネットワークの安定性と精度を向上させることができるか？
• RQ4 物理的法則とデータのハイブリッドトレーニングは、完全にデータ駆動型または残差ベースのPINNアプローチと比較して、破壊モデリングにおいてどのように優れているか？
• RQ5 モデルは複数の荷重ステップにわたるき裂進化の逐次的予測を効率的に実行できるか？

主な発見

• V-DeepONetは、高精度なIGAシミュレーションと比較して、ベンチマークテストにおいて相対L2誤差が5％未満の高精度なき裂経路および変位場の予測を達成した。
• トレーニング時に見なかった分布外の初期き裂配置（例：lc = 0.65 mm）に対しても、効果的に一般化され、優れた外挿能力を示した。
• 変分的エネルギー最小化とラベル付きデータを組み合わせたハイブリッドトレーニング戦略は、完全に物理則に基づくまたはデータオンativeなアプローチよりも顕著に性能を向上させた。
• トレーニング後、一度の順伝播で全場解（フェーズフィールド、変位）を正確に予測でき、多様な初期条件に対して高速なシミュレーションが可能になった。
• 多孔質媒体内の流れのベンチマークでは、残差ベースのDeepONetは収束に失敗したのに対し、V-DeepONetは優れた性能を示し、変分的定式化の利点を裏付けた。
• 本手法により、高精度なシミュレーションを再実行することなく、新しい初期条件に対して迅速に解を生成できるため、不確実性評価と予測が高速に可能になった。