[論文レビュー] A piecewise contractive dynamical system and election methods

Svante Janson, Anders Öberg|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不連続性を有する単位区間上の区分的コーシー的力学系を分析し、非特異パラメータでは普遍的な極小周期軌道が存在することを証明するとともに、特異パラメータ集合がハウスドルフ次元1および特定のゲージ関数のもとで有限測度を有することを示している。これらの結果をフラームェンおよびティーレの多候補者選挙方式に応用し、フラームェンの方法では極限で有理数の議席配分が得られること（非常に小さな集合を除く）、ティーレの方法では無理数の極限が得られることを示しており、これは典型的な周期性が存在しないことを示唆している。

ABSTRACT

We prove some basic results for a dynamical system given by a piecewise linear and contractive map on the unit interval that takes two possible values at a point of discontinuity. We prove that there exists a universal limit cycle in the non-exceptional cases, and that the exceptional parameter set is very tiny in terms of gauge functions. The exceptional two-dimensional parameter is shown to have Hausdorff-dimension one. We also study the invariant sets and the limit sets; these are sometimes different and there are several cases to consider. In addition, we give a thorough investigation of the dynamics; studying the cases of rational and irrational rotation numbers separately, and we show the existence of a unique invariant measure. We apply some of our results to a combinatorial problem involving an election method suggested by Phragmén and show that the proportion of elected seats for each party converges to a limit, which is a rational number except for a very small exceptional set of parameters. This is in contrast to a related election method suggested by Thiele, which we study at the end of this paper, for which the limit can be irrational also in typical cases and hence there is no typical ultimate periodicity as in the case of Phragmén's method.

研究の動機と目的

• 区間 [0,1] 上の区分的線形かつコーシー的写像に、2つの値がとられる点における不連続性を有する系の動的挙動を研究すること。
• 系の不変集合、極限集合、回転数を特徴づけ、特に有理数と無理数のケースを区別すること。
• 回転数が無理数であるパラメータ集合が、ハウスドルフ次元1かつゲージ関数 h(t) = 1/|log t|² に関して有限測度を有することを証明すること。
• 力学系の結果をフラームェンおよびティーレの多候補者投票方式に応用し、議席配分の収束を分析すること。
• フラームェンの方法では、ほとんど至る所で有理数の極限議席配分が得られることを示し、ティーレの方法では無理数の極限が得られることもあり、典型的な周期性が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 系は2つの関数 f₋(x) = {ax + b} および f₊(x) = {ax + b}₊ で定義され、後者は ax + b が整数のときに 0 の代わりに 1 をとることで不連続性を導入する。
• 記号的力学系を用い、実直線に上に持ち上げ、軌道平均を用いて回転数を定義し、すべての軌道に対してその存在と収束を証明する。
• ゲージ関数とハウスドルフ測度を用いて特異パラメータ集合の大きさを定量的に評価し、h(t) = 1/|log t|² に対して有限測度であり、h(t) = 1/|log t| に対して正の測度であることを示す。
• 系に一意な不変測度が存在することを証明し、周期性および不連続性の含み具合に基づいて軌道を分類する。
• 選挙方式への応用では、力学系を議席割り当てにマッピングする：各反復が議席の割り当てに対応し、軌道点の収束が安定な議席配分に対応する。
• フラームェンの方法では、ハウスドルフ次元1のパラメータ集合を除き、各政党の議席比が有理数の極限に収束することが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続性を有する区分的コーシー的力学系は、非特異な場合に普遍的な極小周期軌道を有するか？
• RQ2 回転数が無理数であるパラメータ集合のハウスドルフ次元および測度は何か？
• RQ3 力学系はフラームェンおよびティーレの多候補者選挙方式をどのようにモデル化するのか？ また、議席配分の極限は何か？
• RQ4 フラームェンの方法では、議席配分の極限が無理数になり得るか、それとも常に有理数か？
• RQ5 ティーレの方法では、議席割り当てに典型的な周期性が現れるか、あるいは典型的な場合でも極限が無理数になることがあるか？

主な発見

• 非特異な場合、系は普遍的な極小周期軌道を有し、すべての軌道が同じ周期軌道に収束する。
• 回転数が無理数である特異パラメータ集合は、ハウスドルフ次元1であり、ゲージ関数 h(t) = 1/|log t|² に関して有限ハウスドルフ測度を有する。
• 回転数が無理数であるパラメータ集合は、ゲージ関数 h(t) = 1/|log t| に関して正のハウスドルフ測度を有しており、これはその集合が任意に小さくはないと示している。
• フラームェンの方法では、各政党の議席比が極限で有理数に収束するが、ハウスドルフ次元1のパラメータ集合を除く。
• これに対して、ティーレの方法では、典型的なパラメータに対しても無理数の極限議席比が得られることがあり、これは典型的な最終的周期性が存在しないことを示唆している。
• 本稿では、系に一意な不変測度が存在することを証明しており、これは長期的な統計的挙動を理解する上で極めて重要である。