[論文レビュー] A polarized view of string topology

Ralph L. Cohen, Véronique Godin|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、ほぼ複素多様体の自由ループ空間に対して「偏極化されたアティyah双対」を導入し、閉じた曲面を含むすべての曲面におけるストリングトポロジーオペレーションを支持する一般化されたホモロジー理論を可能にする。標準的なループ空間ホモロジーは、余単位が存在しないユニタルで可換なフロベニウス代数をなすが、これは正の境界を持つTQFTに対応する。この障害を克服するため、ループ空間接束のフィルトレーションを用いたプロスペクトルを構成する。

ABSTRACT

Let M be a closed, connected manifold, and LM its loop space. In this paper we describe closed string topology operations in h_*(LM), where h_* is a generalized homology theory that supports an orientation of M. We will show that these operations give h_*(LM) the structure of a unital, commutative Frobenius algebra without a counit. Equivalently they describe a positive boundary, two dimensional topological quantum field theory associated to h_*(LM). This implies that there are operations corresponding to any surface with p incoming and q outgoing boundary components, so long as q >0. The absence of a counit follows from the nonexistence of an operation associated to the disk, D^2, viewed as a cobordism from the circle to the empty set. We will study homological obstructions to constructing such an operation, and show that in order for such an operation to exist, one must take h_*(LM) to be an appropriate homological pro-object associated to the loop space. Motivated by this, we introduce a prospectrum associated to LM when M has an almost complex structure. Given such a manifold its loop space has a canonical polarization of its tangent bundle, which is the fundamental feature needed to define this prospectrum. We refer to this as the "polarized Atiyah - dual" of LM . An appropriate homology theory applied to this prospectrum would be a candidate for a theory that supports string topology operations associated to any surface, including closed surfaces.

研究の動機と目的

• 一般化されたホモロジー理論を構成し、閉曲面を含むすべての曲面におけるストリングトポロジーオペレーションを可能にする。特に、標準的なループ空間ホモロジーに余単位が存在しないという問題を克服する。
• ほぼ複素多様体の自由ループ空間に対して、その接束の自然な偏極化を用いて、新しい「偏極化されたアティヤ双対プロスペクトル」を定義する。
• ホモロジー的障害を解消し、$h_*(LM)$ 上のフロベニウス代数構造における余単位の存在を妨げる要因を除去する。これにより、完全なTQFTが可能になる。
• $(LM)$ 上の半無限的または「中間次元」ホモロジー理論の枠組みを確立し、交線形式に類似した非退化ペアリングを支持する。
• 脂肪グラフパラメトライゼーションとスコールマップを用いて、$p$ 個の入射境界と $q \geq 1$ 個の出射境界を持つ曲面に対するTQFTオペレーションを体系的に構成する。

提案手法

• 曲面 $\Sigma$ に付随する脂肪グラフ $\Gamma_\Sigma$ を用い、$\Gamma_\Sigma$ から $M$ への写像の空間を $(LM)^p$ に埋め込む。
• 有限codimensionの埋め込み $\text{Map}(\Gamma_\Sigma, M) \to (LM)^p$ に対して、トムコラプス写像を構成し、ホモロジーにおけるプッシュフォワードを可能にする。
• TQFTオペレーション $\mu_\Sigma$ を、プッシュフォワードと、出射境界成分への制限 $\rho_{\text{out}}: \text{Map}(\Gamma_\Sigma, M) \to (LM)^q$ の合成として定義する。
• $S^1$-等長的部分束 $E_{i,j}$ を用いた、$p^*(TLM) \to LM_\pm$ のフィルトレーションを導入する。ここで $E_{i,j} = z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$ であり、$\gamma$ をループ、$W \subset T_\gamma(LM)$ を部分空間とする。
• 逆系のトムスペクトル $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $ を用いて、$S^1$-等長的スペクトルにおけるプロオブジェクトとして偏極化アティヤ双対を構成する。構造写像はバンドルの包含写像から誘導される。
• このプロスペクトルに対して等長的ホモロジー理論を適用し、特に、直交補空間バンドルのオイラー類が可逆となる条件を調べることで、閉曲面におけるオペレーションを支持する理論の候補を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたホモロジー理論 $h_*$ に対して、$h_*(LM)$ 上のフロベニウス代数構造に余単位が存在しない要因となる障害は何か？
• RQ2 閉曲面（特に $S^1$ から $\emptyset$ へのディスクとしてのコバーディズムを含む）におけるストリングトポロジーオペレーションを支持する一般化されたホモロジー理論を構成可能か？
• RQ3 ほぼ複素多様体の $LM$ の接束の自然な偏極化を用いて、完全なTQFTオペレーションを支持する新しいプロスペクトルを定義可能か？
• RQ4 $S^1$-等長的フィルトレーション $E_{i,j} \subset p^*(TLM)$ は、$LM$ 上の半無限的または中間次元ホモロジー理論を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 等長的コホモロジー理論において、フィルトレーションの直交補空間バンドルのオイラー類が単位元（可逆）となる条件は何か？これにより完全なTQFTが実現可能か？

主な発見

• $h_*(LM)$ が $M$ の方向付けを支持する一般化されたホモロジー理論 $h_*$ に対して、ユニタルで可換なフロベニウス代数をなし、余単位が存在しない。これは正の境界を持つTQFTに対応する。
• 任意の曲面 $\Sigma$ に対して、脂肪グラフパラメトライゼーションに伴うトムコラプス写像を用いて、$p$ 個の入射境界と $q \geq 1$ 個の出射境界を持つストリングトポロジーオペレーションが構成可能である。
• $h_*(LM)$ に余単位が存在しないのは、$S^1$ から $\emptyset$ へのディスクとしてのコバーディズムに対する明確な作用が定義できないことが原因であり、これには異なるホモロジー的枠組みが必要である。
• $S^1$-等長的接束 $p^*(TLM) \to LM_\pm$ に対して、部分束 $E_{i,j} = z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$ を用いたフィルトレーションを構成し、これは稠密で増大するものであり、有限次元な部分商を持つ。
• $E_{i-1,j}/E_{i,j}$ および $E_{i,j+1}/E_{i,j}$ は、非等長的に $\tilde{p}^*(TM)$ に同型であり、ここで $\tilde{p}: LM_\pm \to M$ はループを基点で評価する写像である。
• 偏極化アティヤ双対は、逆系のトムスペクトル $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $ を用いて、$S^1$-等長的スペクトルにおけるプロオブジェクトとして定義され、構造写像はバンドルの包含写像から誘導される。