[論文レビュー] String Topology

Moira Chas, Dennis Sullivan|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 274

ひとこと要約

この論文は、d次元多様体内の閉曲線の族の交わりを研究することで、ストリングトポロジーにおける新しい代数的構造を導入する。交わるi次元およびj次元の曲線族の交わりにより、新たな(i+j−d+2)次元の曲線族が生成される。主な貢献は、自由ループ空間のホモロジーに階数付きバタリン＝ヴィルコビッチ代数構造を構成することであり、これにより曲線の相互作用から深い位相的不変量が明らかになる。

ABSTRACT

Consider two families of closed oriented curves in a d-manifold. At each point of intersecction of a curve of one family with a curve of the other family, form a new closed curve by going around the first curve and then going around the second. Typically, an i-dimensional family and a j-dimensional family will produce an (i+j-d+2)-dimensional family. Our purpose is to describe mathematical structure behind such interactions.

研究の動機と目的

• d次元多様体内の閉曲線族の相互作用の背後にある代数的構造を理解すること。
• 交点における曲線の合成という幾何的作用を、整合的な代数的枠組みに形式化すること。
• 交わりと合成の後に得られる曲線族の次元を特定すること。
• 自由ループ空間のホモロジーにバタリン＝ヴィルコビッチ代数構造を備えた位相的不変量を確立すること。

提案手法

• d次元多様体内のi次元およびj次元の閉曲線族の間の交わり積を定義する。
• 各交点で一つの曲線をたどった後、もう一つの曲線をたどることで、新たな閉曲線を構成する。
• 次元解析を用いて、結果として得られる族の次元がi + j − d + 2であることを特定する。
• この作用を自由ループ空間のホモロジーにおける積として形式化する。
• この作用が階数付きバタリン＝ヴィルコビッチ代数の性質を満たすことを示す。
• 代数的構造が多様体およびその曲線族の連続的変形に対して不変であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元多様体内で二つの交わる曲線族を合成した後、曲線族の次元はどのように変化するか？
• RQ2 自由ループ空間における交点での曲線の合成から、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 交点における曲線の連結という幾何的作用を、ホモロジーにおいて一貫した積として形式化できるか？
• RQ4 結果として得られるホモロジー上の代数的構造に、どのような位相的不変量が符号化されているか？
• RQ5 バタリン＝ヴィルコビッチ作用素は、交わりと合成のプロセスから自然にどのように生じるか？

主な発見

• i次元の曲線族とj次元の曲線族の合成により、次元i + j − d + 2の新たな族が得られる。
• この作用は、自由ループ空間のホモロジーに階数付きバタリン＝ヴィルコビッチ代数構造を付与する積を定義する。
• この結果として得られる代数的構造は、多様体およびその曲線族の連続的変形に対して不変である。
• この構成は、ループ空間ホモロジーを通じて、幾何的交わりと代数的位相幾何学の深い関係を明らかにする。
• 次元のシフトi + j − d + 2は、埋め込み多様体内での交わりの法核の余次元を反映している。