[論文レビュー] A polyhedral approach to computing border bases

Gábor Braun, Sebastian Pokutta|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、零次元的イデアルの境界基底を計算するための多面体フレームワークを提示する。このフレームワークは、境界基底をサポートする次数適合順序イデアルを、順序イデアル多面体の整数点として特徴づける。この手法により、項順序に依存せず、ユーザー定義の優先順位に基づく最適化を用いて任意の次数適合順序イデアルに対する境界基底の計算が可能となり、問題は多面体上の線形計画法に還元される。主な貢献は、多面体の整数点と境界基底をサポートする有効な順序イデアルとの間の一対一対応を確立することにある。

ABSTRACT

Border bases can be considered to be the natural extension of Gröbner bases that have several advantages. Unfortunately, to date the classical border basis algorithm relies on (degree-compatible) term orderings and implicitly on reduced Gröbner bases. We adapt the classical border basis algorithm to allow for calculating border bases for arbitrary degree-compatible order ideals, which is \emph{independent} from term orderings. Moreover, the algorithm also supports calculating degree-compatible order ideals with \emph{preference} on contained elements, even though finding a preferred order ideal is NP-hard. Effectively we retain degree-compatibility only to successively extend our computation degree-by-degree. The adaptation is based on our polyhedral characterization: order ideals that support a border basis correspond one-to-one to integral points of the order ideal polytope. This establishes a crucial connection between the ideal and the combinatorial structure of the associated factor spaces.

研究の動機と目的

• 与えられた零次元的イデアルに対して境界基底をサポートする次数適合順序イデアルを特徴づける未解決問題に対処すること。
• 古典的な境界基底アルゴリズムにおける項順序や最小化グレブナー基底への依存を排除すること。
• ユーザーが定義した優先順位に従って特定の単項式を優先するような、任意の次数適合順序イデアルに対しても境界基底の計算を可能にすること。
• 多面体組合せ論を用いて、イデアルの代数的構造とその因子空間の組合せ的幾何との間の関係を確立すること。

提案手法

• 境界基底をサポートする次数適合順序イデアルの集合を、順序イデアル多面体の整数点としてモデル化する。
• ユーザー定義の単項式重みに基づいて、順序イデアル多面体上で線形計画法を用いて好ましい順序イデアルを計算する。
• 古典的な境界基底アルゴリズムを、項順序によって誘導されるものに限らず、多面体の任意の整数点に対して適用可能に変更する。
• 計算の核心となるステップとして、$L$-安定スパン手順を活用する。この手順は多項式時間で実行可能であり、計算量の大部分を占める。
• 最適な順序イデアルの探索を、CPLEX や SCIP などの標準的なソルバで解ける混合整数計画問題として定式化する。
• 多様な多項式系に対して手法を検証し、可能なすべての順序イデアルの数え上げと、優先関数に基づく最適化を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた零次元的イデアルに対して、どの次数適合順序イデアルが境界基底をサポートするか？
• RQ2 古典的な境界基底アルゴリズムは、項順序や最小化グレブナー基底に依存せずに一般化可能か？
• RQ3 特定の単項式を含める優先順位を設定した好ましい順序イデアルに対し、境界基底を計算可能か？
• RQ4 境界基底をサポートするすべての有効な順序イデアルの集合を、組合せ論的および計算的にどのように特徴づけられるか？
• RQ5 与えられた優先関数のもとで最適な順序イデアルを求める計算量的複雑度はいかほどか？

主な発見

• 順序イデアル多面体の整数点と、与えられた零次元的イデアルに対して境界基底をサポートする次数適合順序イデアルとの間に、一対一対応が存在する。
• 実行時間の大部分を占める $L$-安定スパンの計算は、順序イデアル多面体上の最適化よりもはるかに高コストであり、すべてのテストケースで 0.1 秒未塔の実行時間であった。
• 可能なすべての次数適合順序イデアルの数え上げは、小さなインスタンスにおいてのみ計算可能であり、55 秒未塔で最大 108,900 個のイデアルが検出された。
• 最大のテストシステムでは、300 秒の制限時間に達するまでに 130 万を超える順序イデアルが数え上げられ、指数的増加が示された。
• 本手法は、複雑な優先関数を持つ順序イデアルに対しても、境界基底の計算を多面体最適化に還元することで、任意の次数適合順序イデアルに対して成功裏に計算可能である。
• 本アプローチは、根本的な最適化問題が NP 困難であるにもかかわらず、$L$-安定スパンの計算が全体の実行時間の大部分を占めるため、好ましい順序イデアルの効率的計算を可能にしている。