[論文レビュー] A Polylogarithimic Approximation Algorithm for Edge-Disjoint Paths with Congestion 2

Julia Chuzhoy, Shi Li|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、エッジ素性パス問題（EDPwC）に対して、標準的なマルチコミmodityフロー緩和を丸めることで、$ O(\operatorname{poly}\log k) $-近似を得る確率的多対数近似アルゴリズムを提示する。主な貢献は、コンgestion 2におけるEDPwCのための最初の部分多項式近似であり、従来の境界を著しく改善し、この緩和による理論的限界に近づく。

ABSTRACT

In the Edge-Disjoint Paths with Congestion problem (EDPwC), we are given an undirected n-vertex graph G, a collection M={(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} of demand pairs and an integer c. The goal is to connect the maximum possible number of the demand pairs by paths, so that the maximum edge congestion - the number of paths sharing any edge - is bounded by c. When the maximum allowed congestion is c=1, this is the classical Edge-Disjoint Paths problem (EDP). The best current approximation algorithm for EDP achieves an $O(\sqrt n)$-approximation, by rounding the standard multi-commodity flow relaxation of the problem. This matches the $Ω(\sqrt n)$ lower bound on the integrality gap of this relaxation. We show an $O(poly log k)$-approximation algorithm for EDPwC with congestion c=2, by rounding the same multi-commodity flow relaxation. This gives the best possible congestion for a sub-polynomial approximation of EDPwC via this relaxation. Our results are also close to optimal in terms of the number of pairs routed, since EDPwC is known to be hard to approximate to within a factor of $ ildeΩ((\log n)^{1/(c+1)})$ for any constant congestion c. Prior to our work, the best approximation factor for EDPwC with congestion 2 was $ ilde O(n^{3/7})$, and the best algorithm achieving a polylogarithmic approximation required congestion 14.

研究の動機と目的

• エッジコンステレーションが2以下に制限されるエッジ素性パス問題（EDPwC）のためのより良い近似アルゴリズムの設計。
• 古典的なエッジ素性パス（EDP）問題における標準的マルチコミmodityフロー緩和の $ \Omega(\sqrt{n}) $ 整数性ギャップの障壁を克服すること。
• 標準的マルチコミmodityフローLP緩和のみを用いて、コンステレーション2のEDPwCに対して部分多項式近似要因を達成すること。
• 低コンステレーションにおけるEDPwCの既知の難易度結果と達成可能な近似比のギャップを埋めること。
• コンステレーション2のEDPwCに対して近似的に最適な近似を提供し、標準LP緩和による理論的限界に近づくこと。

提案手法

• アルゴリズムは、コンステレーション2のEDPwCのための標準的マルチコミmodityフローLP緩和の確率的丸めを用いる。
• 端末集合のスパニングツリーに基づいて、要請ペアのツリー分解を構築し、コンステレーションを有界に保つ。
• 各端末に対して、ソース・シンクペアを接続するルーティングツリーを構築し、エッジコンステレーションが2以下になるように保証する。
• ツリー内での所属関係に基づいて要請ペアを部分集合に分割し、グリーディ選択プロセスを用いて一定割合のペアがルーティングされることを保証する。
• 各エッジが高々2つの経路にのみ使用されるように、共有エッジを制御的かつ構造的な方法で経路をルーティングすることで、制御を図る。
• ツリー分解の構造とマルチコミmodityフロー解の性質を活用して、コンステレーションと近似比をバウンディングする分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的マルチコミmodityフロー緩和を用いて、コンステレーション2のEDPwCに対して多対数近似が達成可能か？
• RQ2 LP緩和の既知の整数性ギャップを考慮すると、コンステレーション2のEDPwCのための最良の近似要因は何か？
• RQ3 $ \tilde{O}(n^{3/7}) $ よりも高い近似比を達成可能か？これはコンステレーション2における最高の先行結果であった。
• RQ4 低コンステレーションを維持しながら、コンステレーション2のEDPwCに対して部分多項式近似を達成可能か？
• RQ5 定数コンステレーション $ c $ に対して既知の近似難易度下限 $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/(c+1)}) $ にどれほど近づけるか？

主な発見

• 本稿は、コンステレーション2のEDPwCに対して $ O(\operatorname{poly}\log k) $-近似を達成し、先行の $ \tilde{O}(n^{3/7}) $-近似を著しく改善した。
• アルゴリズムは、$ \mathsf{OPT} $ がコンステレーションなしでの最適なペア数であるとして、少なくとも $ \Omega(\mathsf{OPT}/\operatorname{poly}\log k) $ ペアをコンステレーション2以下でルーティングする。
• 近似比の観点からほぼ最適であり、コンステレーション2では $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/3}) $ が既知の難易度下限であるため。
• EDPwCの最適解（コンステレーション2）と比較しても、多対数近似を達成している。
• 本手法により、コンステレーション2が部分多項式近似を達成するのに十分であることが示された。これは以前は未知であった。
• 標準的マルチコミmodityフロー緩和が、コンステレーションを許容することで、2のような低い値に対しても強力な近似保証を提供できることを示した。