[論文レビュー] A Polynomial Quantum Algorithm for Approximating the Jones Polynomial

Dorit Aharonov, Vaughan F. R. Jones+1 more|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、バナッハ群のルート・モデル表現とテンパリー・リーマン代数上のマークフ・トレースの一意性を用いて、任意の原始的k乗根の1つの単位根e^{2πi/k}におけるnストランドのブレードのジョーンズ多項式を近似する明示的で多項式時間の量子アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは逆多項式誤差の加法的近似を達成し、BQP完全性を示しており、トポロジカル量子場理論に依存しない組合せ的問題における直接的な量子加速を提供する。

ABSTRACT

The Jones polynomial, discovered in 1984, is an important knot invariant in topology. Among its many connections to various mathematical and physical areas, it is known (due to Witten) to be intimately connected to Topological Quantum Field Theory (TQFT). The works of Freedman, Kitaev, Larsen and Wang provide an efficient simulation of TQFT by a quantum computer, and vice versa. These results implicitly imply the existence of an efficient quantum algorithm that provides a certain additive approximation of the Jones polynomial at the fifth root of unity, e^{2πi/5}, and moreover, that this problem is BQP-complete. Unfortunately, this important algorithm was never explicitly formulated. Moreover, the results mentioned are heavily based on TQFT, which makes the algorithm essentially inaccessible to computer scientists. We provide an explicit and simple polynomial quantum algorithm to approximate the Jones polynomial of an n-strands braid with m crossings at any primitive root of unity e^{2πi/k}, where the running time of the algorithm is polynomial in m,n and k. Our algorithm is based, rather than on TQFT, on well known mathematical results. By the results of Freedman et. al., our algorithm solves a BQP complete problem. The algorithm we provide exhibits a structure which we hope is generalizable to other quantum algorithmic problems. Candidates of particular interest are the approximations of other #P-hard problems, most notably, the partition function of the Potts model, a model which is known to be tightly connected to the Jones polynomial.

研究の動機と目的

• 先行するTQFTに基づく結果によって暗黙的に示唆されていたが、明示的な形式が与えられていなかったジョーンズ多項式の近似のための明示的かつアクセス可能な量子アルゴリズムを提供すること。
• e^{2πi/5}を超えて、任意の原始的k乗根の単位根e^{2πi/k}における近似を、m, n, kに関して多項式時間にまで拡張すること。
• トポロジカル量子場理論（TQFT）の複雑な形式的枠組みに依存せず、特にルート・モデル表現とマークフ・トレースといった代数的構造に基づくアルゴリズムの構築。
• アルゴリズムがBQP完全問題を解くことにより、量子計算の全計算的パワーを捉えていることを示すこと。
• ユニタリゲートにおける類似の構造的符号号化を通じて、ピットスモデルの分配関数など、他の#P困難問題への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• バナッハ群のルート・モデル表現を用いて、ブレードをテンパリー・リーマン代数上の経路空間のヒルベルト空間に作用するユニタリ行列にマッピングする。
• ルート・モデルから導かれるユニタリ作用素を用いてブレードの作用を符号化し、マークフ・トレースを介して行列積のトレースがジョーンズ多項式に対応するように保証する。
• ハダマードテストを用いて、特定の状態におけるブレード作用素のトレースの実部および虚部を推定することで、ジョーンズ多項式を近似する。
• 重み付き経路空間からランダムに経路をサンプリングし、量子アモニチュード推定を用いて期待値を計算する。信頼性はチェルノフ＝ホイーディングの不等式を用いて保証する。
• プラット閉包の場合、キャプ・カップを用いてブレードをタングルにマッピングし、基底状態|α⟩への射影を用いてトレースとプラット閉包多項式を関連付ける。
• マークフ・トレースの一意性により、ルート・モデルにおけるブレード作用素のトレースが、標準的なジョーンズ多項式評価に等しいことが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TQFTに依存せずに、任意の根の単位根におけるジョーンズ多項式を近似する明示的量子アルゴリズムを構築可能か？
• RQ2 バナッハ群のルート・モデル表現は、ジョーンズ多項式に対する直接的かつ効率的な量子アルゴリズムを可能にするか？
• RQ3 m, n, kに関して多項式時間で、すべてのk乗根の単位根において逆多項式誤差の加法的近似を達成可能か？
• RQ4 e^{2πi/k}におけるジョーンズ多項式の近似問題はBQP完全か？ そして、明示的量子アルゴリズムを用いてこれを示せるか？
• RQ5 同様の構造的符号号化を用いて、ユニタリ回路におけるPottsモデルの分配関数など、他の#P困難問題へ一般化可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、m個の交差を持つ任意のnストランドのブレードについて、e^{2πi/k}におけるジョーンズ多項式の多項式時間量子近似を提供し、m, n, kに関して多項式時間で実行可能である。
• 独立同一分布のサンプルを用い、チェルノフ＝ホイーディングの不等式を適用することで、ε = 1/poly(n, m, k)の加法的近似誤差を指数的高信頼性で達成する。
• アルゴリズムの正しさは、マークフ・トレースの一意性とルート・モデル表現により確立され、Tr_n(φ(B)) = tr(ρ_A(B))が保証される。
• アルゴリズムはBQP完全性を示しており、量子計算の全計算的パワーを捉える問題を解くことにより、その量子計算における根本的役割が確認される。
• TQFTに依存しないため、コンピュータサイエンティストにとってアクセス可能であり、下向き自己還元的#P困難関数を含む他の問題へ一般化可能である。
• ジョーンズ多項式と統計力学における分配関数との密接な関係に起因し、Pottsモデルなど他の問題へも応用可能である。