[論文レビュー] A Possible Mathematical Structure for Physics

Lester C. Welch|ArXiv.org|Aug 14, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Tegmarkの数学的宇宙仮説に裏打ちされた物理理論の基礎として、実数、複素数、ケイリー数（クaternion）の数体系を統合する新しい数学的構造を提案する。それぞれの単位元（1_R, 1_C, 1_H）を別個に定義することで、素粒子の家族や対称性をモデル化する。ディラック方程式にこれらの場への結合項を追加することで、破れたパリティ対称性と時間反転対称性、重力波の存在なさ、および電磁的に暗黙の物質型を含む3種類の物質が予測される。これは、統一場理論の玩具的モデルを提供する。

ABSTRACT

The relationship between mathematics and physics has long been an area of interest and speculation. Subscribing to the recent definition by Tegmark, we present a mathematical structure involving the only division rings - the real, $\mathbb{R}$, the complex, $\mathbb{C}$, and the quaternion, $\mathbb{H}$ - known to meet the requirements of a mathematical description of our universe. The known forces and particle structure, in terms of families and color, can be associated with natural relationships within that structure. A "toy" scientific theory - based on the proposed mathematical structure - is presented to illustrate its applicability. It is shown how parity and time reversal invariance are broken. Two relevant predictions come from the formalism. First, there are no gravity waves and second, matter comes in three varieties, one of which is "dark" in the sense that it is oblivious to electromagnetic interactions.

研究の動機と目的

• Tegmarkの数学的宇宙仮説に基づく数学的構造を構築し、実数、複素数、ケイリー数の数体系を別個の部分宇宙として統合する。
• ケイリー数の固有の代数的豊かさと、各場の単位元の別個の性質（1_R, 1_C, 1_H）を用いて、素粒子の家族、色荷、電荷保存の起源を説明する。
• 部分宇宙間の結合を介して、標準模型の主要な特徴（破れた対称性、質量スペクトルなど）を再現する『玩具的』な物理理論を構築する。
• フロベニウスの定理が示す3つの除法環（R, C, H）が、標準量子力学を超えた完全な物理理論の基礎的枠組みとして機能しうるかを検討する。

提案手法

• 本稿は、R, C, Hの3つの別個の部分構造を構成し、それぞれに固有の単位元（1_R, 1_C, 1_H）を備える。これらは同型な部分集合として扱われるのではなく、互いに区別される。
• すべての場に共通するc数乗数を導入し、各場の性質を保ちつつ統一的取り扱いを可能にする。
• ディラック方程式に、1_R, 1_C, 1_Hに結合する質量項を追加し、m, m_R, m_C, m_Hを含む結合質量項を介して部分宇宙を結合する行列作用素Aを構成する。
• パリティおよび時間反転対称性の破れは、非対称な結合から生じる。具体的には、(partial_y + m_H)^2 ≠ (-partial_y + m_H)^2 および (partial_t + i m_R)^2 ≠ (-partial_t + i m_R)^2 が成り立つ。
• 粒子の家族（e, μ, τ, u, d, c, s, t, b）は、部分宇宙への結合の特定の組み合わせに割り当てられ、第4家族は4つの成分すべてを必要とする。
• 電弱相互作用と強い相互作用は、それぞれCとHの部分宇宙間の結合、およびH内のI, J, K間の結合として解釈される。質量生成は、Rへの結合から生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数、複素数、ケイリー数の3つの除法環（R, C, H）に基づく統一的数学的構造が、素粒子の家族や対称性を説明する物理理論の基礎となり得るか？
• RQ2 1_R, 1_C, 1_Hといった単位元の別個の性質が、標準ゲージ群に依存せずに、色や電荷といった保存量子数の出現を可能にする仕組みは何か？
• RQ3 R, C, Hの部分宇宙に質量項を結合させたディラック方程式を拡張することで、特に対称性の破れに関してどのような物理的結果が生じるか？
• RQ4 この枠組みは、重力波の不在と、電磁相互作用に一切反応しない暗黒物質に類似した成分の存在を予測するか？
• RQ5 レプトンおよびクォークの観測された質量スペクトルは、R, C, Hの部分宇宙への結合の異なる組み合わせによって説明可能か？

主な発見

• このモデルは、重力波が存在しないと予測する。これは、計量の摂動が波として伝播しない構造的性質に起因する。
• 物質は3種類存在する：電磁的に活性な（標準模型のもの）、電磁相互作用に対して中性な（暗黒的物質）、および混合結合を持つ2種類の物質。
• パリティの破れは、y方向におけるm_Hを含む非対称結合に起因する。具体的には、(partial_y + m_H)^2 ≠ (-partial_y + m_H)^2 が成り立つ。
• 時間反転対称性の破れは、時間微分項にm_Rが存在することに起因する。具体的には、(partial_t + i m_R)^2 ≠ (-partial_t + i m_R)^2 が成り立つ。
• レプトンおよびクォークの質量スペクトルは、1_R, 1_C, 1_Hへの結合の異なる組み合わせに割り当てることで説明される。例：e（1_C）、μ（1_R, 1_C）、τ（1_H, 1_C）など。
• 第4の素粒子家族が予測され、これは1_4, 1_R, 1_C, 1_Hの4つの成分すべてへの結合を必要とする。これは、非常に重く、未観測のフェルミオンの家族を示唆する。