[論文レビュー] A posteriori error estimates for space-time IgA approximations to parabolic initial boundary value problems

Ulrich Langer, Svetlana Matculevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数的後験的推定技術を用いて、放物型初期境界値問題に対する空間時間型等値的有限要素法（IgA）近似の事後誤差推定を展開する。推定値はメッシュ依存定数を含まず、エネルギー誤差ノルムの信頼性と有効性を保証し、異なる誤差ノルムに適合させるために自由パラメータを有する柔軟な枠組みを提供する。

ABSTRACT

This work is concerned with a posteriori error estimates of the functional type for approximations constructed by space-time IgA scheme presented in paper by Langer, Neumueller, and Moore (2016). We consider approxima- tions in the corresponding IgA spaces based on elliptic and bounded bilinear form (associated with the spatial part). It is proved that the approximations satisfy classic a priori error estimates. Also, we deduce a posteriori error estimates for a stabilized weak formulation of the considered parabolic initial boundary value problem (I-BVP). They are derived by a general functional method and do not contain mesh dependent constants. The estimates are valid for a wide class of approximations. In particular, they imply estimates for the discrete norm of IgA approximations. Moreover, we introduce different forms of a posteriori error estimates (error majorants) and establish equivalence of majorants and energy error norm. This property justifies efficiency and reliability of a posteriori error estimates. Another important property of the estimates is their flexibility with respect to a certain amount of free parameters. Using these parameters we can obtain estimates for different error norms and minimize the respective majorant in order to find the best possible bound of the error.

研究の動機と目的

• 放物型初期境界値問題に対する空間時間型IgA近似の事後誤差推定を導出すること。
• 推定値がメッシュ依存定数を含まず、エネルギークラスに属する任意の近似に対して有効であることを保証すること。
• 誤差主要限界とエネルギー誤差ノルムの間の同値性を確立し、信頼性と有効性を保証すること。
• 自由パラメータを有する柔軟な枠組みを提供し、誤差境界を最小化し、特定の誤差ノルムを標的にすること。
• 関数的後験的推定法を空間時間型IgAスケームに拡張し、適応的計算および並列計算への応用可能性を高めること。

提案手法

• 関数解析および双対性の議論を用いて、メッシュ依存定数を避ける事後誤差主要限界を導出する。
• Bスプライン、NURBS、または局所化されたスプラインを用いた高平滑性の空間時間型IgA近似を採用し、高い精度を達成する。
• 自由パラメータ $ \gamma, \alpha_i, \rho_i, \beta_i, \epsilon $ を含む二種類の誤差主要限界 $ \overline{\rm M}^{\rm I} $ および $ \overline{\rm M}^{\rm II} $ を構築する。
• 適切な関数空間上で主要限界の下界とエネルギー誤差ノルムの間の同値性を確立する。
• 変分恒等式およびコーシー・シュワルツ型推定を用いて、誤差を残差および整合性項の観点から評価する。
• 主要限界が計算可能であり、パラメータの最適化によって最もきつい誤差境界が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間型IgA近似に対する信頼性と有効性を備えた事後誤差推定を導出できるか？
• RQ2 推定値がメッシュ依存定数に依存せず、IgA近似に適用可能であるようにするにはどうすればよいか？
• RQ3 提案された誤差主要限界と真のエネルギー誤差ノルムとの関係は何か？
• RQ4 主要限界に含まれる自由パラメータは、誤差境界の品質およびその最小化にどのように影響するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、パラメータの調整によって異なる誤差ノルムの境界を導出できるか？

主な発見

• 提案された事後誤差主要限界はエネルギー誤差ノルムと同値であり、信頼性と有効性を保証する。
• 同値定数 $ C^{ m I}_{ m eq} $ および $ C^{ m II}_{ m eq} $ は明示的に計算可能であり、自由パラメータにのみ依存する。
• 推定値は適合エネルギークラスに属する任意の近似に対して有効であり、適合性やメッシュ依存仮定を必要としない。
• 主要限界 $ \overline{\rm M}^{\rm I} $ および $ \overline{\rm M}^{\rm II} $ はパラメータの最適化によりエネルギー誤差の最もきつい上界が得られる。
• 計算可能でパラメータ調整可能な誤差指標を提供するため、適応的グリッド・リファインメントおよび並列計算が可能になる。
• パラメータ $ \gamma, \rho_1, \rho_2, \epsilon $ の調整により、異なる誤差ノルムをサポートすることができ、標的誤差推定が可能になる。