[論文レビュー] A priori estimates of a finite element method for fractional diffusion problems by energy arguments

Samir Karaa, Kassem Mustapha+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、凸領域における時間分数拡散方程式に可変拡散係数を適用したガレルキン線形有限要素法について、事前誤差推定を展開する。$t^m$-重み付きノルムと一般化されたライブニッツ公式を用いた洗練されたエネルギー解析により、滑らかでない初期データを含む両方の状況において、最適な $L^2$ および $H^1$ 誤差境界と準最適な $L^\infty$ 境界を確立する。

ABSTRACT

In this article, the Galerkin piecewise-linear finite element (FE) method is applied to approximate the solution of time-fractional diffusion equations with variable diffusivity on bounded convex domains. Standard energy arguments do not provide satisfactory results for such a problem due to the low regularity of its exact solution. Using a delicate energy analysis, {\it a priori} optimal error bounds in $L^2(\Omega)$-, $H^1(\Omega)$-, and quasi-optimal in $L^{\infty}(\Omega)$-norms are derived for the semidiscrete FE scheme for cases with smooth and nonsmooth initial data. The main tool of our analysis is based on a repeated use of an integral operator and use of a $t^m$ type of weights to take care of the singular behavior at $t=0.$ The generalized Leibniz formula for fractional derivatives is found to play a key role in our analysis. Numerical experiments are presented to illustrate some of the theoretical results.

研究の動機と目的

• 時間分数拡散問題における可変拡散係数を有する半離散有限要素法の事前誤差境界を導出すること。
• 標準的なエネルギー技法が崩壊する $t=0$ における解の正則性の低さという課題に対処すること。
• 滑らかでない初期データを含む両方の状況において、最適な $L^2$ および $H^1$ 収束速度と準最適な $L^\infty$ 境界を確立すること。
• $t^m$-重み付きノルムと分数階のライブニッツ則を統合した、初期時刻における特異挙動を捉える新しいエネルギー解析フレームワークの構築。

提案手法

• 有界な凸領域上での半離散時間分数拡散問題にガレルキン線形有限要素法を適用する。
• 分数階微分の構造を扱うために、積分作用素を繰り返し適用する。
• 解の $t=0$ における特異挙動を制御するために、エネルギー解析に $t^m$-タイプの重みを導入する。
• 一般化されたライブニッツ公式を、主な解析的道具として用いる。
• 正確な解の正則性が低いことに配慮した繊細なエネルギー推定を実施する。
• 部分積分とノルム制御の体系的かつ逐次的な適用により、$L^2(\Omega)$、$H^1(\Omega)$、および $L^\infty(\Omega)$ ノルムにおける誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性が低い解を有する分数マッピング問題において、標準的なエネルギー論法を最適誤差推定に適応可能か？
• RQ2 $t^m$-重み付きノルムは、初期層特異性を示す時間分数PDEの解析をどのように改善するか？
• RQ3 分数階微分の一般化されたライブニッツ公式は、鋭い誤差境界を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ4 半離散有限要素設定において、滑らかでない初期データを含む両方の状況で、最適な $L^2$ および $H^1$ 誤差境界を達成可能か？
• RQ5 時間分数拡散方程式の有限要素近似において、準最適な $L^\infty$ 収束は達成可能か？

主な発見

• 滑らかでない初期データを含む両方の状況において、半離散有限要素スキームの最適な $L^2(\Omega)$-ノルム誤差境界が導出された。
• $t^m$-重み付きの洗練されたエネルギー解析により、最適な $H^1(\Omega)$-ノルム誤差境界が確立された。
• 準最適な $L^\infty(\Omega)$-ノルム誤差境界が得られ、最大ノルムにおけるほぼ最適な収束が示された。
• 一般化されたライブニッツ公式は、エネルギー推定における分数階微分の積の法則を処理するために不可欠であった。
• 繰り返し適用された積分作用素と $t^m$-重み付きノルムの併用により、$t=0$ における初期層特異性が効果的に捉えられた。
• 数値実験により、$L^2$、$H^1$、$L^\infty$ ノルムにおける理論的収束速度が確認された。