[論文レビュー] Error Estimates for Approximations of Distributed Order Time Fractional Diffusion with Nonsmooth Data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない初期データを伴う分散型時間分数拡散方程式について、厳密な数値解析を提示する。空間半離散ガレルキン有限要素法と、ラプラス変換 quadrature および後退オイラー時刻離散化を用いた畳み込み quadrature に基づく2つの完全離散スキームを提案する。$L^2(\nabla)$ および $H^1$ ノルムにおける最適誤差推定を確立し、ラプラスに基づくスキームでは指数的収束、畳み込み quadrature スキームでは1次収束を示す。広範な数値実験により検証されている。

ABSTRACT

In this work, we consider the numerical solution of an initial boundary value problem for the distributed order time fractional diffusion equation. The model arises in the mathematical modeling of ultra-slow diffusion processes observed in some physical problems, whose solution decays only logarithmically as the time $t$ tends to infinity. We develop a space semidiscrete scheme based on the standard Galerkin finite element method, and establish error estimates optimal with respect to data regularity in $L^2(D)$ and $H^1(D)$ norms for both smooth and nonsmooth initial data. Further, we propose two fully discrete schemes, based on the Laplace transform and convolution quadrature generated by the backward Euler method, respectively, and provide optimal convergence rates in the $L^2(D)$ norm, which exhibits exponential convergence and first-order convergence in time, respectively. Extensive numerical experiments are provided to verify the error estimates for both smooth and nonsmooth initial data, and to examine the asymptotic behavior of the solution.

研究の動機と目的

• 分散型時間分数拡散方程式に適した数値スキームの開発および解析を目的とし、ultraslow 拡散過程で一般的に見られる滑らかでない初期データを対象とする。
• 滑らかでない初期データを含む $L^2(\nabla)$ および $H^1$ ノルムにおける最適誤差推定を確立し、文献における空白を埋める。
• 2つの完全離散スキームの提案と解析を行う。1つはラプラス変換 quadrature を用いた指数的収束を示すもので、もう1つは後退オイラー時刻離散化を用いた畳み込み quadrature スキームで、1次収束を達成する。
• 両方の初期データ（滑らかでないものも含む）に対して理論的誤差推定を広範な数値実験で検証する。
• 解の漸近的挙動を検討し、理論的誤差境界の鋭さを確認する。特に、$L^2$ 初期データにおける誤差推定に現れる対数項を含む。

提案手法

• 標準的な $H^1_0$-適合有限要素を用いた空間半離散ガレルキン有限要素法を開発し、Fujita および Suzuki による作用素的テクニックを用いて誤差解析を行う。
• 2つの完全離散スキームを提案する。1つは逆ラプラス変換の台形則近似に基づくもので、変形された双曲的曲線を用いる。もう1つは後退オイラー法によって生成される畳み込み quadrature を用いるものである。
• ラプラス変換に基づくスキームは、曲線積分と有理近似を用い、時間方向に指数的収束を達成する。
• 畳み込み quadrature スキームは、後退オイラー法を活用して、安定かつ1次収束する時刻離散化を実現する。
• 滑らかでない初期データにおける解の正則性結果を用いて誤差推定を導出し、最終時刻 $T$ と $L^2$ 初期データの場合は対数項の依存関係を含む。
• 数値実験は、$\mathbb{R}^d$ ($d=1,2,3$) 内の凸多角形領域で実施し、初期データおよび重み関数 $\mu(\alpha)$ を変化させ、$\chi_{[1/2,1]}(\alpha)$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを伴う分散型時間分数拡散方程式に対して、空間半離散ガレルキン有限要素法の最適収束率は何か？
• RQ2 ラプラス変換 quadrature を用いた完全離散スキームは、この問題に対して指数的収束を達成できるか？また、畳み込み quadrature スキームと比較してどのように異なるか？
• RQ3 初期データの正則性、特に $v \in L^2(\Omega)$ の場合に、誤差推定はどのように依存するか？
• RQ4 誤差推定に現れる対数因子 $\ell_2(t) = \log(1/t)$ は鋭いか？数値実験でもその存在が確認されるか？
• RQ5 初期データの種別（滑らか vs. 特異）に応じて収束挙動はどのように変化するか？また、これらのスキームは長時間区間においても効率的に動作するか？

主な発見

• 空間半離散ガレルキン有限要素法は、$L^2(\Omega)$ および $H^1(\Omega)$ ノルムにおいて最適誤差推定を達成し、収束率は初期データの正則性に依存する。
• ラプラス変換に基づく完全離散スキームは、時間方向に指数的収束を示し、多数または大きな時刻における解の計算に極めて効率的である。
• 後退オイラー時刻離散化を用いた畳み込み quadrature スキームは、時間方向に1次収束を達成し、すべてのテストケースで数値的に確認された収束率を示す。
• $L^2(\Omega)$ 初期データの場合、誤差推定には対数因子 $\ell_2(t) = \log(1/t)$ が含まれるが、数値実験によりその鋭さが確認され、$\|U_h^1 - u(\tau)\|_{L^2} \leq c\tau \log(1/\tau)$ が成立することが示された。
• 数値結果により、後退オイラースキームの誤差は $L^2$ 初期データでは $\tau / t$ に支配され、理論予測通りに $t$ が小さい場合に収束率が著しく低下することが確認された。
• 広範な数値実験により、滑らかでない初期データを含む両方の初期データタイプについて理論的誤差推定が検証され、ultraslow 拡散モデルに一致する解の漸近的対数減衰が確認された。