[論文レビュー] A priori $L^{\infty}$-estimates for degenerate complex Monge-Ampère equations

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpact Kähler多様体上の退化複素Monge-Ampère方程式の解について、コhomology類が非-bigなクラスに退化する場合の、一様な $L^{\infty}$-推定を確立する。容量比較と Hölder の不等式を用いて、パrameter $t \to 0^+$ のときも解が $L^{\infty}$-ノルムで一様に有界であることを証明し、ファイブレーションの幾何的仮定を一切不要とする既存結果の一般化を達成する。

ABSTRACT

We study families of complex Monge-Ampère equations, focusing on the case where the cohomology classes degenerate to a non big class. We establish uniform a priori $L^{\infty}$-estimates for the normalized solutions, generalizing the recent work of S. Kolodziej and G. Tian. This has interesting consequences in the study of the Kähler-Ricci flow.

研究の動機と目的

• 退化複素Monge-Ampère方程式の解について、コhomology類が非-bigなクラスに退化する際の一様な事前 $L^\infty$-推定を確立すること。
• Kolodziej と Tian の最近の結果を、ファイブレーション $\pi: X \to Y$ における技術的幾何的仮定を除去することで一般化すること。
• 正規化された解 $\varphi_t$ の $L^\infty$-ノルムに対して、$t \in (0,1]$ に依存しない一様な境界を与えることにより、$t \to 0^+$ の極限における安定性を保証すること。
• 結果を中間Kodaira次元 $1 \leq \kod(X) \leq n-1$ を持つ多様体上のKähler–Ricciフローに適用すること。
• $L^\infty$-境界がファイブレーション $\pi$ と密度 $F$ の $L^p$-ノルムにのみ依存することを示すこと。

提案手法

• Monge-Ampère方程式を $(\omega_t + dd^c \varphi_t)^n = f_t \omega_t^n$ の形に書き直し、$f_t$ が $L^{p'}$ で一様に有界となるようにする（$p' > 1$）。
• Hölder の不等式とある $\alpha \in (0,1)$ に対する $J_\pi^{-\alpha}$ の可積分性を用いて、密度 $f_t$ の一様な制御を確立する。
• 測度 $\mu_t = f_t \omega_t^n / \Vol_{\omega_t}(X)$ と正規化された容量 $\mathrm{Cap}_{\omega_t}/\Vol_{\omega_t}(X)$ の比較原理を用い、$\mu_t(K) \leq C_0^n \left( \mathrm{Cap}_{\omega_t}(K)/\Vol_{\omega_t}(X) \right)^2$ を示す。
• Alexander-Taylor の比較定理を用いて、部分レベル集合の容量と解の部分レベル集合の測度との関係を確立する。
• $\omega_t$-擬上膜関数の比較原理を用いて、量 $s_0(\omega_t)$ を介して事前 $L^\infty$-境界を導出する。$s_0(\omega_t)$ は $t \in (0,1]$ で一様に有界である。
• $\omega_t$-擬上膜関数が $L^1(\omega_1^n)$ で一様に有界であることを利用し、$s_0(\omega_t)$ が $t$ に依存せずに一様に有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーション $\pi: X \to Y$ に幾何的仮定を課さずに、退化複素Monge-Ampère方程式の解について一様 $L^\infty$-推定を確立できるか？
• RQ2 一様 $L^\infty$-境界はファイブレーション $\pi$ と密度 $F$ の $L^p$-ノルムにどのように依存するか？
• RQ3 コhomology類が非-bigなクラスに退化する場合、Monge-Ampère方程式の解の正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 容量比較法を用いて、$\omega_t = \pi^*\omega_Y + t\omega_X$ のようなKähler形式の族について、$t \to 0^+$ の極限における一様な境界を導出できるか？
• RQ5 Jacobianモジュラス $J_\pi$ は、密度 $f_t$ の $L^p$-可積分性を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• Monge-Ampère方程式 $(\star)_t$ の解 $\varphi_t$ は、すべての $t \in (0,1]$ に対して一様な $L^\infty$-境界 $\|\varphi_t\|_{L^\infty(X)} \leq M$ を満たす。ここで $M = M(\pi, \|F\|_p)$ は $t$ に依存しない。
• 定数 $M$ はファイブレーション $\pi$ と $F$ の $L^p$-ノルムにのみ依存し、$\pi$ に関する幾何的仮定には依存しない。
• 密度 $f_t$ は、ある $p' > 1$ に対して $L^{p'}(\omega_t^n)$ で一様に有界であり、その境界は $\pi$ と $\|F\|_p$ のみに依存する。
• 測度 $\mu_t = f_t \omega_t^n / \Vol_{\omega_t}(X)$ は、正規化された容量 $\mathrm{Cap}_{\omega_t}/\Vol_{\omega_t}(X)$ により、一様な定数 $C_0^n$ を用いて強く支配される。
• $L^\infty$-境界を制御する量 $s_0(\omega_t)$ は、$t \in (0,1]$ で一様に有界であり、$e^n C_0^n (A + n)$ で抑えられる。ここで $A$ は $(X, \omega_1)$ のみに依存する。
• この結果により、[KT] の定理1および定理2は、$\pi$ に関する技術的仮定を除去しても成立することが示され、Demailly と Pali の予想を裏付ける。