[論文レビュー] A probabilistic approach to large time behaviour of mild solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in infinite dimension

Ying Hu, Pierre-Yves Madec+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、無限次元ヒルベルト空間における弱解の長時間挙動を解析する、完全に確率的な手法を提示する。有限時限の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解と、定常的（Ergodic）BSDEの解との間のギルサノフ変換およびカップリング推定を用いて関連づけ、明示的な指数的収束速度を確立する：|u(T,x)−λT−v(x)−L|≤C(1+|x|^{2+μ})e^{−η̂T}、ここでλとvは定常的HJB方程式の解であり、Lは定数シフトである。

ABSTRACT

We study the large time behaviour of mild solutions of HJB equations in infinite dimension by a purely probabilistic approach. For that purpose, we show that the solution of a BSDE in finite horizon $T$ taken at initial time behaves like a linear term in $T$ shifted with the solution of the associated EBSDE taken at initial time. Moreover we give an explicit speed of convergence, which seems to appear very rarely in literature.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間におけるHJB方程式の弱解の長時間漸近的挙動を解析すること。
• 有限時限解とその定常的近似との差の収束速度を確立すること。
• 完全に確率的な枠組みを構築し、純粋な解析的またはPDEに基づく手法を避けること。
• 結果を最適制御問題に応用し、有限時限コストと定常的コストを結びつけること。

提案手法

• 有限時限Tにおける弱解の確率的表現を、後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を用いて行う。
• 時刻0における有限時限BSDEの解と、定常的BSDE（EBSDE）の解との間の関係に依存する。
• ギルサノフ変換を用いて確率測度を再重み付けし、異なる測度下でのSDEのダイナミクスを比較する。
• 元の測度と変換後の測度下でのオーナイシュタイン＝ウーレンプロセスの分布の距離をカップリング推定で制御する。
• H値をとるオーナイシュタイン＝ウーレンプロセス（ウィーナー過程によって駆動）に関連するコルモゴロフ半群の形式的生成作用素Lを用いる。
• u(T,x) = λT + v(x) + L + o(1) の漸近的展開を導出し、明示的な指数的収束速度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時限Tが無限大に近づくにつれて、有限時限HJB方程式の解はどのように振る舞うか？
• RQ2 有限時限解が定常的解のTに線形的な補正を加えたものに収束する際、明示的な収束速度を定量化できるか？
• RQ3 漸近的展開における解u(T,x)のうち、定常的成分（λ, v）の役割は何か？
• RQ4 PDEや粘性解の技法に依存せずに、弱解の長時間挙動を解析できるか？
• RQ5 BSDEによる解の確率的表現をどのように用いることで、無限次元HJB方程式における収束速度を導出できるか？

主な発見

• 時刻0における有限時限BSDEの解は、T → ∞ において λT + v(x) + L に収束する。ここでλとvは定常的HJB方程式の解である。
• 明示的な指数的収束速度が確立された：|u(T,x)−λT−v(x)−L|≤C(1+|x|^{2+μ})e^{−η̂T}、ここでη̂は作用素Aの発散性に依存する。
• 収束速度は|x|に関して多項式的であり、Tに関して指数的であり、指数η̂はAの発散定数と関連している。
• 本手法は完全に確率的であり、ギルサノフ変換およびカップリング推定に依存し、従来のPDE技法を避ける。
• gおよびfが多項式的成長を示し、fが勾配変数に関してリプシッツ連続であるHJB方程式に適用可能である。
• この枠組みは最適制御問題へ拡張可能であり、有限時限コストJ^T(x,a)が漸近的にλT + v(x) + L と振る舞うことが示された。ここでλは定常的コスト、Lは定数シフトである。