[論文レビュー] A proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散時間確率的証券市場における、ダラン＝モートン＝ウィリングターの定理の新たな簡潔な証明を提示する。この証明は、取引の機会のない条件（no-arbitrage condition）と、有界密度をもつ同等の martingale 測度の存在との同値性を確立する。この手法は、$L^1$-空間における双対性と可測選択定理を活用し、複雑な閉包に関する議論や、きわめて複雑な可測な集合値写像を避けることで、no-arbitrage 条件下での同等 martingale 測度の存在をより直接的に示す。

ABSTRACT

We give a new proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem, relating the no-arbitrage condition in stochastic securities market models to the existence of an equivalent martingale measure with bounded density for a $d$-dimensional stochastic sequence $(S_n)_{n=0}^N$ of stock prices. Roughly speaking, the proof is reduced to the assertion that under the no-arbitrage condition for N=1 and $S\in L^1$ there exists a strictly positive linear fucntional on $L^1$, which is bounded from above on a special subset of the subspace $K\subset L^1$ of investor's gains.

研究の動機と目的

• 離 discrete-time 証券市場におけるダラン＝モートン＝ウィリングター定理の新たな、簡素化された証明を提供すること。
• 取引の機会のない条件と、有界密度をもつ同等 martingale 測度の存在との同値性を確立すること。
• 従来の手法で用いられる高度な可測選択定理や、利益集合の閉包に関する証明に依存しないこと。
• 利益集合の部分集合上で有界な正の線形汎関数の存在が、有界密度をもつ同等 martingale 測度の存在を示すこと。

提案手法

• 上位空間 $L^\infty$ と分離定理に注目した $L^1$-空間における双対性を用い、正の線形汎関数を構成する。
• カラトフスキー–リル＝ナールデフスキの可測選択定理を用いて、$\mathbb{R}^d$ 上の $\sigma$-代数可測写像を取り扱う。
• 条件付き期待値と正規条件付き分布を用いて、価格変動 $\Delta S_n$ の台を分析する。
• 条件付き測度と密度変換を用いた帰納的議論により、一般の $N$-期間ケースを $N=1$ ケースに還元する。
• $d\mathsf{P}'/d\mathsf{P} = c\exp(-\sum_n |S_n|)$ を用いた測度の変更により、可積分性を保ちつつ密度の有界性を維持する。
• 連続的な時間ステップにおける密度を組み合わせることで、等価 martingale 測度 $\mathsf{Q}$ を再帰的に構成し、$\mathsf{Q}$-martingale 性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 利益集合の閉包性に依存せずに、取引の機会のない条件と、有界密度をもつ同等 martingale 測度の存在との同値性を示せるか？
• RQ2 高度な可測な集合値写像を用いずに、$L^1$ 双対性と可測選択定理のみで同等 martingale 測度を構成できるか？
• RQ3 $N$-期間ケースを、有界密度を保つ形で $N=1$ ケースに還元する方法は何か？
• RQ4 価格変動 $\Delta S_n$ の台の凸包の相対内部に原点が存在することは、正の密度の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 取引の機会のない条件は、負の部分のノルムが1以下の利益集合上で、$L^1$ 上で上界をもつ正の線形汎関数の存在を示唆する。
• 取引の機会のない条件下で、各 $n$ に対して $\mathsf{E}(g_n \Delta S_n | \mathscr{F}_{n-1}) = 0$ almost surely となる正の要素 $g_n \in L^\infty_{++}$ が存在する。
• このような $g_n$ の存在が、$d\mathsf{Q}/d\mathsf{P} \in L^\infty$ をもつ等価 martingale 測度 $\mathsf{Q}$ の存在を保証する。
• 本証明は、オーマンの可測選択定理や、クレプス＝ヤンの閉包に関する議論を回避しており、より直接的な道筋を提供する。
• ダラン＝モートン＝ウィリングター定理の条件 (i)、(ii)、(iii) の同値性は、$N=1$ ケースへの還元と、測度の帰納的構成により確立される。
• 条件 (iii)、すなわち、$\varkappa_{n-1}(\omega)$ の台の凸包の相対内部に原点が存在することは、有界密度をもつ同等 martingale 測度の存在にとって必要かつ十分である。