[論文レビュー] A proof of the Kawamata-Morrison Cone Conjecture for holomorphic symplectic varieties of K3^[n] or generalized Kummer deformation type

Eyal Markman, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$K3$表面の$n$点ヒルベルトスキームまたは一般化されたクマーマニフォールドと変形同値な、射影的で非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体について、Kawamata-Morrisonの錐予想のバージョンを証明する。双対ネフ錐内の原始的極小クラスの自己交叉の有界性を用いて、自己同型群が正ネフ錐上に作用する際の有理的多面体的基本領域の存在を確立し、Conjecture 1.1の仮定の下で予想を確認する。

ABSTRACT

We prove a version of the Kawamata-Morrison ample cone conjecture for projective irreducible holomorphic symplectic manifolds deformation equivalent to either the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, or a generalized Kummer variety.

研究の動機と目的

• 非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の$K3^{[n]}$型または一般化されたクマーモデル型に対して、Kawamata-Morrisonのアーモン錐予想のバージョンを証明すること。
• 自己同型群が正ネフ錐$\operatorname{Nef}_X^+$上に作用する際の有理的多面体的基本領域の存在を確立すること。
• Conjecture 1.1の下で、与えられた双有理同値類内の非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の同型類の集合が有限であることを示すこと。
• 既知のモジュライ空間に関する結果と除法的ザリスキ分解を活用することで、射影的でない場合にも錐予想を拡張すること。

提案手法

• 証明は、$X$の双有理モデル$Y$に対して、$\operatorname{Nef}_Y^*$における原始的極小クラスの自己交叉の有界性に依拠する（Conjecture 1.1を仮定）。
• Beauville-Bogomolov-Fujiki形式を介して、双対錐$\operatorname{Nef}_X^*$とモーリー錐$\overline{\mathrm{NE}}_1(X)$との同定を用いる。
• Néron-Severi格子$\Lambda = H^{1,1}(X,\mathbb{Z})$における有理的多面体的錐を分析し、それらが正錐$\mathcal{C}^+$とどのように交わるかを検討する。
• $(v^2)$の有界性と直交条件に基づく有限性の議論を用いて、特定の整数クラスの集合が有限であることを示す。
• 補題3.1–3.3は、$\mathcal{C}^+$内のノルムが有界な方向に対して直交する整数クラスの有限性を、格子論的分解と正性制約を用いて確立する。
• 命題3.4は、有理的多面体的錐への非自明な交わりを持つノルムが有界な整数クラスの集合の有限性を一般化し、証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Conjecture 1.1の仮定の下で、$\mathrm{Aut}(X)$が$\operatorname{Nef}_X^+$上に作用する際に、有理的多面体的基本領域が存在するか？
• RQ2 有界な極小クラスを用いて、$K3^{[n]}$型および一般化されたクマーモデル型ホロモルフィックシンプレクティック多様体におけるKawamata-Morrison錐予想を確立できるか？
• RQ3 同じ仮定の下で、固定された双有理同値類内のホロモルフィックシンプレクティック多様体の同型類の集合は有限か？
• RQ4 $K3^{[n]}$型と一般化されたクマーモデル型の多様体において、可動錐$\mathcal{MV}_X^+$と正錐$\mathcal{C}^+$の関係はいかなるものか？
• RQ5 除法的ザリスキ分解は、これらの状況において$\operatorname{Nef}_X^e$と$\operatorname{Nef}_X^+$をどのように関連付けるか？

主な発見

• Conjecture 1.1の仮定の下で、$\mathrm{Aut}(X)$が$\operatorname{Nef}_X^+$上に作用する有理的多面体的基本領域の存在が確立された。
• $X$の双有理モデル$Y$における整数的、原始的、極小クラスの$\operatorname{Nef}_Y^*$内での自己交叉が有界であることが示され、証明の主要な前提条件となった。
• 有理的多面体的錐$\Pi \subset \overline{\mathcal{C}^+}$に対して、集合$\{v \in \Lambda \mid (v^2) > -N, v^\perp \cap \Pi \cap \mathcal{C}^+ \neq \emptyset\}$の有限性が証明された。
• $K3^{[n]}$型および一般化されたクマーモデル型多様体では、$\mathcal{MV}_X^+ = \mathcal{MV}_X$が成り立ち、可動錐が有理的多面体的であることが保証される。
• $K3^{[n]}$型多様体では、等式$\operatorname{Nef}_X^e = \operatorname{Nef}_X^+$が成り立つ。これは、等方的ネフクラスが有効的であるためである。
• 極小クラスの有界性から、双有理同値類内のホロモルフィックシンプレクティック多様体の同型類の有限性が導かれる。