[論文レビュー] A Quantitative Arrow Theorem

Elchanan Mossel|ArXiv.org|Mar 14, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿はアローの逆説定理の定量的版を確立し、独立性の原理（IIA）、対比較に対する最小限の支持、有界な独裁でない性質を満たす任意の憲法が、δ > 0 である確率で非推移的結果を示すことを証明している。ここで δ は ε のみに依存する。この結果は、k ≥ 3 個の代替案に対して成り立ち、非一様かつ対称的な順位付けの分布に対しても一般化可能であり、逆ハイパーコントラクトビリティおよび非線形不変性を用いてパラドックスの確率を評価している。

ABSTRACT

Arrow's Impossibility Theorem states that any constitution which satisfies Independence of Irrelevant Alternatives (IIA) and Unanimity and is not a Dictator has to be non-transitive. In this paper we study quantitative versions of Arrow theorem. Consider $n$ voters who vote independently at random, each following the uniform distribution over the 6 rankings of 3 alternatives. Arrow's theorem implies that any constitution which satisfies IIA and Unanimity and is not a dictator has a probability of at least $6^{-n}$ for a non-transitive outcome. When $n$ is large, $6^{-n}$ is a very small probability, and the question arises if for large number of voters it is possible to avoid paradoxes with probability close to 1. Here we give a negative answer to this question by proving that for every $\eps > 0$, there exists a $δ= δ(\eps) > 0$, which depends on $\eps$ only, such that for all $n$, and all constitutions on 3 alternatives, if the constitution satisfies: The IIA condition. For every pair of alternatives $a,b$, the probability that the constitution ranks $a$ above $b$ is at least $\eps$. For every voter $i$, the probability that the social choice function agrees with a dictatorship on $i$ at most $1-\eps$. Then the probability of a non-transitive outcome is at least $δ$.

研究の動機と目的

• 社会選択関数における非推移的結果の確率を限定することで、アローの逆説定理の定量的強化を提供すること。
• カライとケラーの先行研究（k=3 のバランスの取れた憲法に限定）を、任意の k ≥ 3 および順位付けの一般対称分布へと一般化すること。
• 高い確率で推移的結果をもたらす IIA を満たすすべての社会選択関数を同定し、ピボットとなる Voter の構造的制約を特定すること。
• 一様分布を超えて、各順位付けが確率 α > 0 以上を有する任意の分布に対し、解析を拡張し、頑健な定量的境界を確立すること。

提案手法

• 逆ハイパーコントラクトビリティを用いて、推移性が高確率で成立するならば、2 つの異なる Voter が複数の対比較において非無視可能な確率でピボットとなることは不可能であることを示す。
• 非線形不変性原理を適用し、個々の Voter の影響力が小さい（全影響力が小さい）場合のパラドックス確率の下界を求める。
• ハイパーキューブ上のフーリエ解析による Voter 影響力の分解を用い、低次数のフーリエ係数に注目することで、推移性の破綻を制御する。
• 条件付き期待値とノイズ安定性の境界を用いて、非推移的結果の確率と Voter の影響構造との間の関係を確立する。
• 任意の ε > 0 に対して、δ(ε) > 0 が存在し、憲法が独裁に近くなく、対比較の支持が十分に保証されている場合、パラドックス確率は少なくとも δ に達することを証明する。
• 最小順位付け確率 α を用いて指数部の定数を調整することで、一様分布から対称分布への結果の一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IIA、最小限の対比較支持、有界な非独裁性を満たす社会選択関数において、非推移的結果が生じる最小確率は何か？
• RQ2 一様分布を超えて、最小順位付け確率が有界である任意の対称分布に対し、定量的アロー定理を拡張できるか？
• RQ3 Voter の影響構造は、IIA を満たす条件下で推移的結果の発生確率をどのように制限するか？
• RQ4 IIA を満たす憲法において、Voter の影響力と投票パラドックスの確率の正確な関係は何か？
• RQ5 本稿で用いられた技術（特に逆ハイパーコントラクトビリティおよび非線形不変性）は、ギバード＝サッタースウェイトの定理のような他の社会選択の逆説定理に対しても適用可能か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、δ(ε) > 0 が存在し、対比較確率が ε 以上で、独裁でない確率が 1−ε 以下の IIA を満たす憲法は、非推移的結果を少なくとも確率 δ で示す。
• 境界 δ は Voter 数 n に依存せず、ε のみに依存するため、パラドックス確率に一様な下界を確立する。
• この結果は k ≥ 3 個の代替案および各順位付けが確率少なくとも α 以上の対称分布へ一般化可能であり、δ = exp(−C₁ / (α ε^{C₂(α)})) かつ C₂(α) = 3 + 1/(2α²) と表される。
• 高い確率で推移的結果をもたらす憲法は、非常に制限された構造を持つ必要がある：もしくは 1 人の Voter が代替案の大きな部分集合で支配的であるか、もしくは影響力が極めて集中している。
• 2 人の Voter が複数の対比較において非無視可能な確率で同時にピボットとなるならば、パラドックスは避けられないことが証明され、弱い仮定のもとでも成立する。
• 非線形不変性と逆ハイパーコントラクトビリティの使用により、個々の Voter が結果にほとんど影響を与えない低影響力領域においても、きめ細かな境界が得られる。