[論文レビュー] A quantitative ergodic theory proof of Szemerédi's theorem

Terence Tao|ArXiv.org|May 13, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 35被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、選択公理、無限測度、フーリエ解析を避けて、エルゴディック理論を用いた定量的で初等的なSzemerédiの定理の証明を提示する。整数の稠密な部分集合に長さ$k$の等差数列が存在するための明示的（ただし極めて悪い）定量的境界を確立し、Furstenbergの元々のエルゴディック証明の自己完結的で有効な代替案を提供する。その際、多色ファンに対する新しい帰納法と色集約技術を用いる。

ABSTRACT

A famous theorem of Szemerédi asserts that given any density $0 < δ\leq 1$ and any integer $k \geq 3$, any set of integers with density $δ$ will contain infinitely many proper arithmetic progressions of length $k$. For general $k$ there are essentially four known proofs of this fact; Szemerédi's original combinatorial proof using the Szemerédi regularity lemma and van der Waerden's theorem, Furstenberg's proof using ergodic theory, Gowers' proof using Fourier analysis and the inverse theory of additive combinatorics, and Gowers' more recent proof using a hypergraph regularity lemma. Of these four, the ergodic theory proof is arguably the shortest, but also the least elementary, requiring in particular the use of transfinite induction (and thus the axiom of choice), decomposing a general ergodic system as the weakly mixing extension of a transfinite tower of compact extensions. Here we present a quantitative, self-contained version of this ergodic theory proof, and which is ``elementary'' in the sense that it does not require the axiom of choice, the use of infinite sets or measures, or the use of the Fourier transform or inverse theorems from additive combinatorics. It also gives explicit (but extremely poor) quantitative bounds.

研究の動機と目的

• FurstenbergのSzemerédiの定理のエルゴディック理論的証明の定量的で自己完結的なバージョンを提供すること。選択公理や無限測度空間への依存を避けることを目的とする。
• 元々のエルゴディック証明における超限帰納法とコンパクト拡張の必要性を排除し、議論を完全に初等的に行うこと。
• 長さ$k$の等差数列を保証する集合のサイズに関する明示的（ただし非最適な）定量的境界を導出すること。
• 多色ファンに対する帰納法と色集約技術を用いて、エルゴディック的アプローチを有効かつ有限的に行えることを示すこと。

提案手法

• 証明は、有限集合内における複数の等差数列から成る、異なる色を持つ構造（多色ファン）の次数に関する有限帰納法を用いる。
• 色集約技術を適用して、同一のファンから成る進歩を、より高い次数のファンに変換し、代数的変形を用いて新しい単色または多色構成を構成する。
• $m$色塗り分けされた集合において、単色$k$-AP または半径$k$、次数$d$の多色ファンが存在するための再帰的境界$N_{\text{FAN}}(k-1,m,d)$を構築する。
• $N = 4k N_1 N_2$と定義する。ここで$N_1 = N_{\text{FAN}}(k-1,m,d-1)$、$N_2 = N_{\text{vdW}}(k-1,m^d N_1^d)$であり、$m$色塗り分けの下で$k$-AP または次数$d$のファンが存在することを保証する。
• ブロック間の$k-1$長さの単色進歩を対角線的トリックで組み合わせ、半径$k$、次数$d$の新しいファンを構成する。ベースポイントとスパokesは進歩のパラメータから導出される。
• フーリエ変換、加法的組合せ論における逆定理、正則性補題を一切避けて、単に組合せ的帰納法と有限色塗り分けの議論に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FurstenbergのSzemerédiの定理のエルゴディック理論的証明を、選択公理に依存せずに、定量的かつ有限的に行えるか。
• RQ2 単に初等的な組合せ的技法のみを用いて、$k$項の等差数列を保証する集合のサイズに関する明示的境界を導出可能か。
• RQ3 多色ファンの構造を用いて、有限色塗り分けにおいて単色構成を帰納的に構築可能か。
• RQ4 エルゴディック理論的拡張の塔を、有限設定における有効的で再帰的な構成に置き換え可能か。

主な発見

• 論文は、超限帰納法の代わりにファン次数に関する有限帰納法を用いることで、アッカーマン型成長を示すが明示的に計算可能なSzemerédiの定理の定量的境界を確立した。
• 任意の$m$色塗り分けの$\{1,\ldots,N\}$において、$N = 4k N_1 N_2$、$N_1 = N_{\text{FAN}}(k-1,m,d-1)$、$N_2 = N_{\text{vdW}}(k-1,m^d N_1^d)$のとき、単色$k$-項等差数列または半径$k$、次数$d$の多色ファンが存在することを証明した。
• 対角線的トリックによるファンの構成により、$d-1$次から$d$次へのファンへの移行が可能となり、無限の構成を避けながら帰納ステップを成功させた。
• フーリエ変換、加法的組合せ論における逆定理、正則性補題を一切避けており、Gowersの手法よりもより初等的である。
• 色集約を用いて、van der Waerdenの定理の有限版に問題を還元することで、$N_{\text{SZ}}(k,\delta)$の原始再帰的境界を導出したが、これは最適ではない。