[論文レビュー] The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions

Ben Green, Terence Tao|ArXiv.org|Apr 8, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、素数の集合が任意の長さの等差数列を含むことを証明し、数論における長年の予想を解決した。スツェメレディの定理（稠密な集合に関するもの）を、擬似ランダム測度へと拡張する新しい転送原理を組み合わせ、ゴールドストン＝ユルダイリムの研究を活用して素数をほとんど素数の擬似ランダム測度に埋め込むことで、素数の正の相対密度をもつ任意の部分集合が、任意の長さの等差数列を含むことを確立した。

ABSTRACT

We prove that there are arbitrarily long arithmetic progressions of primes. There are three major ingredients. The first is Szemeredi's theorem, which asserts that any subset of the integers of positive density contains progressions of arbitrary length. The second, which is the main new ingredient of this paper, is a certain transference principle. This allows us to deduce from Szemeredi's theorem that any subset of a sufficiently pseudorandom set of positive relative density contains progressions of arbitrary length. The third ingredient is a recent result of Goldston and Yildirim. Using this, one may place the primes inside a pseudorandom set of ``almost primes'' with positive relative density.

研究の動機と目的

• 素数が任意の長さの等差数列を含むという古典的予想を解決すること。
• 元々整数の稠密な部分集合に対して成り立つスツェメレディの定理を、正の相対密度をもつ素数の部分集合へと拡張すること。
• スツェメレディ型の結果を稠密な集合から、擬似ランダム測度における正の相対密度をもつ疎な集合（例：素数）へと転送できる一般化された転送原理を開発すること。
• ゴールドストンとユルダイリムの結果を用いて、正の相対密度をもつほとんど素数の擬似ランダム測度へ素数を埋め込むこと。
• 正の相対上密度をもつ素数の任意の部分集合が、任意の長さkの等差数列を無限に含むことの確立

提案手法

• 正の相対密度をもつ整数の擬似ランダム集合にスツェメレディの定理を適用し、長大な等差数列の存在を保証する。
• 稠密な集合から疎な集合へ、正の相対密度をもつ擬似ランダム測度における結果を転送できる転送原理を導入する。
• ゴールドストン＝ユルダイリムの定理を用いて、正の相対密度をもつほとんど素数の擬似ランダム測度へ素数を埋め込む。
• 整数上に、擬似ランダムでかつ正の相対密度をもつ素数を含む測度を構成し、転送原理の適用を可能にする。
• 主要推定式の誤差項に現れるリーマン・ゼータ関数を含む積分を推定するために、複素関数論およびコーシーの積分路積分法を用いる。
• 多変数複素積分における変数の数に関する帰納法を用いて、対数的べきの形をとる漸近展開を導出する。ここでRは複素変数の大きさを表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 稠密な集合におけるスツェメレディの定理（長大な等差数列に関するもの）は、素数のような疎な集合へと拡張可能か？
• RQ2 正の相対密度をもつ擬似ランダム測度における疎な集合へ、稠密な集合からの結果を一般化して転送できる一般転送原理が存在するか？
• RQ3 正の相対密度をもつほとんど素数の擬似ランダム測度へ、素数を埋め込むことは可能か？
• RQ4 正の相対上密度をもつ素数の任意の部分集合は、任意の長さの等差数列を含むか？
• RQ5 素数におけるk項等差数列の数の下界の定量的強さはどの程度か？

主な発見

• 素数は任意の長さの等差数列を含み、数論における古典的予想が正当化された。
• 正の相対上密度をもつ素数の任意の部分集合は、すべてのkに対して無限に多くの長さkの等差数列を含む。
• 主結果は、スツェメレディの定理を擬似ランダム測度へと拡張する転送原理によって確立された。
• ゴールドストン＝ユルダイリムの結果を用いて、正の相対密度をもつほとんど素数の擬似ランダム測度へ素数を埋め込み、転送原理の適用を可能にした。
• この手法により、素数におけるk項等差数列の数の下界が (γ(k) + o(1))N²/logᵏN の形で得られ、γ(k) > 0 である。
• 証明は複素関数論と積分路積分を用いて誤差項を制御しており、その境界は exp(−δ√log R) の形で減少する。ここでδ > 0 である。