[論文レビュー] A quantum algorithm for simulating non-sparse Hamiltonians

Chunhao Wang, Leonard Wossnig|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）入力モデルを用いた非スパースハミルトニアンの量子シミュレーションのためのアルゴリズムを提示する。この手法により、精度依存性が多対数的（poly-logarithmic）に抑えられる。線形結合量子ウォーク（LCU）とqRAMに格納されたハミルトニアン成分からの効率的な状態準備を組み合わせることで、時間計算量が $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $ に抑えられ、従来の手法に比べて精度スケーリングにおいて顕著な改善が達成される。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for simulating the dynamics of Hamiltonians that are not necessarily sparse. Our algorithm is based on the input model where the entries of the Hamiltonian are stored in a data structure in a quantum random access memory (qRAM) which allows for the efficient preparation of states that encode the rows of the Hamiltonian. We use a linear combination of quantum walks to achieve poly-logarithmic dependence on precision. The time complexity of our algorithm, measured in terms of the circuit depth, is $O(t\sqrt{N}\|H\|\,\mathrm{polylog}(N, t\|H\|, 1/ε))$, where $t$ is the evolution time, $N$ is the dimension of the system, and $ε$ is the error in the final state, which we call precision. Our algorithm can be directly applied as a subroutine for unitary implementation and quantum linear systems solvers, achieving $\widetilde{O}(\sqrt{N})$ dependence for both applications.

研究の動機と目的

• 非スパースハミルトニアンの時間発展をシミュレートする量子アルゴリズムの開発。従来のスパースアクセスモデルでは効率的に表現できない。
• 標準的なスパースアクセスモデルや局所的ハミルトニアンモデルが適用できない密度的または非スパースなハミルトニアンのシミュレーションに直面する課題に対処すること。
• 精度に多対数的依存性を有する時間計算量を達成し、ハミルトニアンシミュレーションの既存量子アルゴリズムに比べて改善すること。
• qRAMモデルにおける量子線形システムソルバーやユニタリ演算の実装を効率的に行えるようにすること。システム次元に $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ の依存性を有する。

提案手法

• ハミルトニアン成分を格納するqRAMデータ構造を用い、ハミルトニアンの各行を符号化した量子状態の効率的準備を可能にする。
• 時間発展 $ e^{-iHt} $ のシミュレーションに、線形結合量子ウォーク（LCU）を用いる。ハミルトニアン各行の重ね合わせを準備できる能力を活用する。
• ハミルトニアン構造を符号化する量子ウォーク演算子 $ U $ を構築する。各行あたりの状態準備コストは $ O(\mathrm{polylog}(N)) $ である。
• Bessel関数の近似と切り捨てられた級数展開を用いて、誤差を制御した形で発展演算子を実装し、$ \epsilon $-精度を確保する。
• 発展演算子を、$ e^{-iH/(2\|H\|_1)} $ をシミュレートするセグメントに分割し、合計で $ O(t\|H\|_1) $ 回繰り返すことで、合計時間 $ t $ の発展演算を達成する。
• 線形結合の係数は、既知の手法を用いて古典的に事前計算され、セグメントあたり $ O(k) $ のコストがかかる。ここで $ k \sim \log(t\|H\|/\epsilon)/\log\log(t\|H\|/\epsilon) $ である。

Figure 1: A example of the data structure that allows for efficient state preparation using a logarithmic number of conditional rotations.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qRAMベースの入力モデル（エントリが量子アクセス可能なデータ構造に格納される）を用いて、非スパースハミルトニアンを効率的にシミュレートできるか。
• RQ2 密度的または非スパースなハミルトニアンにおいて、ハミルトニアンシミュレーションの精度依存性を多対数的（poly-logarithmic）に抑えられるか。
• RQ3 線形結合量子ウォーク（LCU）技法を、スパースアクセスオракルではなく、qRAMによって準備された状態に適応可能か。
• RQ4 本アルゴリズムの時間計算量は、システムサイズ $ N $、発展演算時間 $ t $、精度 $ \epsilon $ の観点から、既存のハミルトニアンシミュレーション量子アルゴリズムと比較してどうなるか。
• RQ5 本アルゴリズムは、qRAMモデルにおける量子線形システムソルバーやユニタリ実装の改善にサブルーチンとして利用可能か。

主な発見

• 時間計算量は $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $ に抑えられ、システム次元 $ N $ に対して $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ の依存性を示す。これは非スパースハミルトニアンに対して最適である。
• 精度依存性は多対数的であり、具体的には $ \mathrm{polylog}(t\|H\|,1/\epsilon) $ である。これは、従来の指数的精度依存性を示す量子アルゴリズムに比べ顕著な改善である。
• 本アルゴリズムにより、qRAMモデルにおける量子線形システムソルバーが実現可能となり、次元に $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ のスケーリングと多対数的精度依存性を有する。これは、従来の研究に比べて指数的改善を達成する。
• ハミルトニアン各行の状態準備は $ O(\mathrm{polylog}(N)) $ 時間で達成され、量子ウォーク構築に必要な重ね合わせへの効率的アクセスを可能にする。
• 切り捨てられたBessel関数級数と、係数の古典的事前計算を用いて、誤差を有界に保ったまま線形結合量子ウォークを実装する。
• 本アルゴリズムはqRAMの制限（高い物理的リソースオーバーヘッドや厳しい誤り率要件）を引き継ぐが、線形回帰や線形システムといった問題において、古典的アルゴリズムに比べて多項式的スピードアップを提供する。