[論文レビュー] Limitations on the simulation of non-sparse hamiltonians

Andrew M. Childs, Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、量子コンピュータ上での非スパースハミルトニアンのシミュレーションにおける根本的な制限を確立し、スパースでないハミルトニアンへのno-fast-forwarding定理の一般化を行い、||H||がハミルトニアンのサイズの信頼できる測度でない場合でさえ、一般のシミュレーションがo(||Ht||)時間で実行できないことを証明している。さらに、poly(||Ht||, log N)時間でのシミュレーションが不可能であることを示し、既存の離散時間量子ウォークに基づく手法が一般には著しく改善できないことを示しているが、低木構造性（low-arboricity）を持つグラフをもつ一部の非スパースハミルトニアンは依然として効率的にシミュレート可能である。

ABSTRACT

The problem of simulating sparse Hamiltonians on quantum computers is well studied. The evolution of a sparse N × N Hamiltonian H for time t can be simulated using O(||Ht|| poly(logN)) operations, which is essentially optimal due to a no-fast-forwarding theorem. Here, we consider non-sparse Hamiltonians and show significant limitations ontheir simulation. We generalize the no-fast-forwarding theorem to dense Hamiltonians, ruling out generic simulations taking time o(||Ht||), even though ||H|| is not a uniquemeasure of the size of a dense Hamiltonian H. We also present a stronger limitationruling out the possibility of generic simulations taking time poly(||Ht||; logN), showingthat known simulations based on discrete-time quantum walk cannot be dramatically improved in general. On the positive side, we show that some non-sparse Hamiltonianscan be simulated efficiently, such as those with graphs of small arboricity.

研究の動機と目的

• 非スパースハミルトニアンを量子コンピュータ上でシミュレートする理論的限界を調査すること。
• スパースハミルトニアンに限るno-fast-forwarding定理を非スパースハミルトニアンへ拡張すること。
• 一般の非スパースハミルトニアンのシミュレーションが、||Ht||やlog Nに対して線形的または多項式的依存性を達成できるかどうかを特定すること。
• 一般の制限にもかかわらず、依然として効率的にシミュレート可能な非スパースハミルトニアンのクラスを同定すること。

提案手法

• スペクトルノルム解析と量子クエリ複雑度を用いて、スパースでないハミルトニアンへのno-fast-forwarding定理の一般化。
• ハミルトニアンのシミュレーションにおける量子アルゴリズムのクエリ複雑度を分析し、||Ht||が下界として果たす役割に注目する。
• 特に木構造性（arboricity）を用いたグラフ理論的性質を活用し、効率的にシミュレート可能な非スパースハミルトニアンを同定する。
• 既知のシミュレーション技術のベースラインとして離散時間量子ウォークフレームワークを適用し、一般にはその最適性が達成できないことを証明する。
• シミュレーション問題をクエリ問題に還元することで、実行時間の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ||H||がハミルトニアンのサイズの信頼できる測度でない場合でさえ、非スパースハミルトニアンをo(||Ht||)時間でシミュレートできるか？
• RQ2 現在の量子ウォークベースの手法を用いて、非スパースハミルトニアンの一般のシミュレーションをpoly(||Ht||, log N)時間で達成できるか？
• RQ3 ハミルトニアンの相互作用グラフにどのような構造的性質が存在すれば、非スパース性にもかかわらず効率的なシミュレーションが可能になるか？
• RQ4 非スパースハミルトニアンのシミュレーションにおける制限は、スパースハミルトニアンのそれと比べてどのように異なるか？

主な発見

• no-fast-forwarding定理は非スパースハミルトニアンへ一般化され、||H||がサイズの信頼できる測度でない場合でさえ、一般のシミュレーションがo(||Ht||)時間で実行できないことを示している。
• 非スパースハミルトニアンの一般のシミュレーションは、poly(||Ht||, log N)時間で実行できない。これにより、既存の離散時間量子ウォーク手法が一般には著しく改善できないことが示された。
• スペクトルノルムと時間発展演算の両方に依存する下界が、任意の非スパースハミルトニアンをシミュレートする量子アルゴリズムの実行時間に対して確立された。
• 相互作用グラフの木構造性（arboricity）が低いハミルトニアンは、効率的にシミュレート可能であり、非スパースハミルトニアンの広いクラスが高速シミュレーションに適していることが同定された。