[論文レビュー] A Quantum Approximate Optimization Algorithm

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 1,772

ひとこと要約

この論文は、パラメータ化された量子回路を用いて組合せ最適化問題の近似解を求めるバリエーション量子アルゴリズムである量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を紹介する。p=1の3正則グラフにおけるMaxCutに対して、このアルゴリズムは最適値の少なくとも0.6924倍のカットサイズを保証し、固定されたpに対して古典的手法よりも証明可能な性能優位性を示す。

ABSTRACT

We introduce a quantum algorithm that produces approximate solutions for combinatorial optimization problems. The algorithm depends on a positive integer p and the quality of the approximation improves as p is increased. The quantum circuit that implements the algorithm consists of unitary gates whose locality is at most the locality of the objective function whose optimum is sought. The depth of the circuit grows linearly with p times (at worst) the number of constraints. If p is fixed, that is, independent of the input size, the algorithm makes use of efficient classical preprocessing. If p grows with the input size a different strategy is proposed. We study the algorithm as applied to MaxCut on regular graphs and analyze its performance on 2-regular and 3-regular graphs for fixed p. For p = 1, on 3-regular graphs the quantum algorithm always finds a cut that is at least 0.6924 times the size of the optimal cut.

研究の動機と目的

• NP困難な組合せ最適化問題の近似解を求める一般用途の量子アルゴリズムを開発すること。
• 近い将来の量子デバイスにおける限られたキュービット接続性とコherenceを考慮した、パラメータ化された量子回路を設計すること。
• 特に固定されたpに対して正則グラフにおける特定の問題（例：MaxCut）のアルゴリズムの性能を分析すること。
• パrameter pを増加させることで近似品質が向上し、p→∞の極限で正確な最適解に近づく理論的枠組みを確立すること。
• 固定pに対して最適な角度を効率的に特定する古典的手法の前処理戦略を探索することにより、効率的な量子評価を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、ユニタリ操作のシーケンスを用いて量子状態|γ,β⟩を構築する：CがコストハミルトニアンでBがミキサー・ハミルトニアンであるとき、U(C,γ) = e^{-iγC} と U(B,β) = e^{-iβB} を交互に適用する。
• 初期状態|s⟩は、すべてのキュービットにアダマールゲートを適用することで、計算基底状態の均等重ね合わせ状態として準備される。
• アルゴリズムは期待値F_p(γ,β) = ⟨γ,β|C|γ,β⟩を評価し、これは満たされた節の平均数やカットサイズを推定する。
• 固定されたpに対して、古典的前処理は、量子期待値の再帰的評価を用いた有界最適化問題を解くことで、最適な角度(γ,β)を計算する。
• pがnとともに増加する場合、アルゴリズムは古典的最適化ループ内で量子コンピュータをサブルーチンとして用い、パrameter空間全体でF_p(γ,β)を最大化する。
• アルゴリズムは正則グラフにおけるMaxCutに適用され、対称性と摂動理論を用いて2正則および3正則グラフに対する解析的結果が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定pに対して、パラメータ化された量子回路が組合せ最適化問題に対して証明可能な近似比を提供できるか？
• RQ2 pを増加させた際のQAOAの性能はどのように変化するか？また、p→∞の極限で正確な解に収束するか？
• RQ3 固定pに対して、古典的アルゴリズムがF_p(γ,β)を最大化する最適な角度(γ,β)を効率的に計算できるか？
• RQ4 p=1のとき、3正則グラフにおけるMaxCutに対してQAOAが達成可能な近似比は何か？
• RQ5 QAOAは、独立集合を頂点とするグラフ上の連続時間量子ウォークとして解釈できるか？コストハミルトニアンが進化を誘導するか？

主な発見

• p=1および3正則グラフの場合、QAOAは最適カットの少なくとも0.6924倍のカットサイズを保証し、証明可能な近似比を提供する。
• 期待値F_p(γ,β)はpが増加するにつれて単調非減少であり、lim_{p→∞} M_p = max_z C(z) であるため、アルゴリズムは正確な最適解に近づける。
• pが固定されており、各キュービットが制限された数の節に参加する場合、F_p(γ,β)を最大化する最適な角度(γ,β)を効率的に計算する古典的アルゴリズムが存在する。
• アルゴリズムの量子回路の深さはpおよび制約数に線形に比例するため、近い将来の量子デバイスに適している。
• p=1の場合、アルゴリズムは頂点が独立集合であるグラフ上の連続時間量子ウォークとして解釈できる。ミキサー・ハミルトニアンBは隣接行列として作用する。
• p=1のとき、3正則グラフにおけるMaxCutに対して、古典的手法よりも性能が向上し、近似品質における量子優位性を示す。