[論文レビュー] A Quantum Approximate Optimization Algorithm for continuous problems

Guillaume Verdon, Juan Miguel Arrazola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、目的関数によって定義されるポテンシャルウエル内での量子力学的ダイナミクスとして連続最適化を定式化する連続変数量子近似最適化アルゴリズム（CV-QAOA）を提案する。コストハミルトニアンとミキサーのハミルトニアンの下での時間発展演算子を交互に適用することで、重ね合わせ状態における勾配降下を実行し、連続変数における量子的最適化を可能にするとともに、量子的加速の可能性と勾配ヒューリスティクスを用いた効率的な古典的パrameter調整を実現する。

ABSTRACT

We introduce a quantum approximate optimization algorithm (QAOA) for continuous optimization. The algorithm is based on the dynamics of a quantum system moving in an energy potential which encodes the objective function. By approximating the dynamics at finite time steps, the algorithm can be expressed as alternating evolution under two non-commuting Hamiltonians. We show that each step of the algorithm updates the wavefunction in the direction of its local gradient, with an additional momentum-dependent displacement. For initial states in a superposition over many points, this method can therefore be interpreted as a coherent version of gradient descent, i.e., 'gradient descent in superposition.' This approach can be used for both constrained and unconstrained optimization. In terms of computational complexity, we show how variants of the algorithm can recover continuous-variable Grover search, and how a single iteration can replicate continuous-variable instantaneous quantum polynomial circuits. We also discuss how the algorithm can be adapted to solve discrete optimization problems. Finally, we test the algorithm through numerical simulation in optimizing the Styblinski-Tang function.

研究の動機と目的

• ファイナンス、機械学習、工学分野で広く見られる連続最適化のための量子アルゴリズムの不足に対処すること。
• 元々離散問題を想定して設計されたQAOAフレームワークを連続変数系に拡張すること。
• 量子ダイナミクスを用いて実数値最適化問題を連続領域で解くことのできる量子アルゴリズムを実現すること。
• 古典的勾配降下ヒューリスティクスを模倣しつつも、量子重ね合わせを維持できるかを検証すること。
• 同じフレームワーク内で制約付き最適化問題や離散最適化問題に対応できるかを示すこと。

提案手法

• 目的関数をコストハミルトニアン $ \hat{H}_C = f(\bm{x}) $ として符号化し、ここで $ f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R} $ である。
• 運動量に依存する時間発展演算子を誘導するミキサーハミルトニアン $ \hat{H}_M $ を用い、コストハミルトニアンと非可換なダイナミクスを実現する。
• 変分パrameter $ \gamma_j, \tau_j $ を用いて、交替するユニタリ操作 $ e^{-i\gamma_j \hat{H}_C} $ と $ e^{-i\tau_j \hat{H}_M} $ を実装する。
• 各時間発展ステップを、局所勾配の方向へのコherentな更新と解釈し、運動量に依存する変位を伴う。
• 重ね合わせ状態（例：運動量スクリーチング真空）を初期状態として用いることで、複数の初期点を同時に探索可能にする。
• 連続変数量子計算またはデジタルキュービットシミュレーションを用いてアルゴリズムを実装し、非線形ポテンシャルに対応するためのカスタム四次ゲート $ e^{i\hat{x}^4} $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAフレームワークは、離散変数を超えた連続最適化問題へ一般化可能か？
• RQ2 ポテンシャル内に束縛された粒子の量子ダイナミクスは、古典的勾配降下法とどのように関係するか？
• RQ3 連続変数設定において、Grover探索と同等の量子的加速を達成できるか？
• RQ4 古典的最適化ヒューリスティクス（例：学習率スケジューリング）が、量子回路の変分パrameterにどの程度埋め込めるか？
• RQ5 制約付きまたは離散最適化問題を、同じフレームワーク内で扱えるか？

主な発見

• アルゴリズムは重ね合わせ状態における勾配降下を実行し、各ステップで局所勾配の方向に波動関数を更新し、運動量に依存する変位を伴う。
• 2次元のStyblinski-Tang関数に対して、サンプリングで得られた最良関数値は $ f(x^*, y^*) = -78.33216 $ であり、グローバル最小値の $ -78.3323 $ に極めて近い。
• 1000サンプル中22点が $ -78 $ より小さい関数値を示し、少量のサンプリングでグローバル最小値の良い近似が得られることを示している。
• $ T = 0.1 $ の3ステップ後、出力確率分布は4つの局所的最小値の周辺に集中し、モードはグローバル最小値付近に一致した。
• 標準の計算複雑性仮定のもとで、アルゴリズムの出力分布は古典的に効率的にシミュレートできないため、潜在的な量子優位性を示している。
• アルゴリズムは連続変数Grover探索を再現でき、1反復でインスタント・クオンタム多項式回路を再現できる。