[論文レビュー] A Quantum IP Predictor-Corrector Algorithm for Linear Programming.

Pablo A. M. Casares, M. A. Martín-Delgado|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、変数の数における量子高速化を達成するために、量子線形方程式系アルゴリズム（QLSA）を活用した、密度行列線形計画法のための量子内部点予測子補正アルゴリズムを提示する。解のベクトルと最適値を古典的出力として生成し、多項対数因子を除いて最悪計算量は $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$ であり、制約行列が密度行列である場合、古典的手法に比べて顕著な改善を示す。

ABSTRACT

We introduce a new quantum optimization algorithm for dense Linear Programming problems, which can be seen as the quantization of the Interior Point Predictor-Corrector algorithm \cite{Predictor-Corrector} using a Quantum Linear System Algorithm \cite{DenseHHL}. The (worst case) work complexity of our method is, up to polylogarithmic factors, $O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\bar{\kappa}^2\epsilon^{-2})$ for $n$ the number of variables in the cost function, $m$ the number of constraints, $\epsilon^{-1}$ the target precision, $L$ the bit length of the input data, $\overline{||M||_F}$ an upper bound to the Frobenius norm of the linear systems of equations that appear, $||M||_F$, and $\bar{\kappa}$ an upper bound to the condition number $\kappa$ of those systems of equations. This represents a quantum speed-up in the number $n$ of variables in the cost function with respect to the comparable classical Interior Point algorithms when the initial matrix of the problem $A$ is dense: if we substitute the quantum part of the algorithm by classical algorithms such as Conjugate Gradient Descent, that would mean the whole algorithm has complexity $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log(\epsilon^{-1}))$, or with exact methods, at least $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$. Also, in contrast with any Quantum Linear System Algorithm, the algorithm described in this article outputs a classical description of the solution vector, and the value of the optimal solution.

研究の動機と目的

• 密度行列線形計画法に対して、古典的手法の内部点法よりも高速化を達成する量子アルゴリズムを開発すること。
• 量子線形方程式系アルゴリズム（QLSA）を古典的予測子補正フレームワークに統合すること。
• 量子アルゴリズムが、単に量子状態ではなく、解のベクトルと最適値の古典的記述を出力することを保証すること。
• 問題サイズ、精度、条件数の観点から、量子アルゴリズムの計算量を分析し、古典的手法と比較すること。

提案手法

• 古典的内部点予測子補正法を量子化し、古典的線形方程式系の解法を量子線形方程式系アルゴリズム（QLSA）に置き換える。
• 予測子補正ステップで生じる線形方程式系をQLSAで解くことで、ニュートン方程式の解法における量子高速化を実現する。
• 誤差と収束を制御するため、線形方程式系のフロベニウスノルム $||M||_F$ と条件数 $ar{\rho}$ を制限する。
• 解の古典的記述を常に維持することで、出力が古典的後処理に利用可能であることを保証する。
• 入力ビット長 $L$、変数数 $n$、制約数 $m$、精度 $ar{\nu}^{-1}$、条件数 $ar{\rho}$ の観点から計算量を分析する。
• 量子アルゴリズムは多項対数因子を除いて $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$ の作業計算量を達成する。ここで $ar{\rho}$ はフロベニウスノルムの上界、$ar{\tau}$ は条件数の上界である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予測子補正内部点法を、密度行列線形計画問題の解法における量子高速化を達成するために、効果的に量子化できるか？
• RQ2 予測子補正フレームワーク内でのQLSAを用いた密度行列線形計画問題の解法における量子計算量は何か？
• RQ3 量子アルゴリズムは、量子状態ではなく、解のベクトルと最適値の古典的記述を出力するか？
• RQ4 $n$ に依存するスケーリングの観点から、量子計算量は、共役勾配降下法や正確な解法といった古典的手法と比べてどうなるか？
• RQ5 フロベニウスノルムと条件数の上界が、量子アルゴリズムの正しさと効率性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、多項対数因子を除いて最悪計算量 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$ を達成する。ここで $ar{\rho}$ は線形方程式系のフロベニウスノルムの上界、$ar{\tau}$ はその条件数の上界である。
• 制約行列 $A$ が密度行列である場合、変数数 $n$ に依存する点で、古典的手法の内部点法に比べて量子アルゴリズムが量子高速化を達成する。
• 量子部分を共役勾配降下法などの古典的ソルバーに置き換えた場合、古典的計算量は $O(L\bar{\rho}(n+m)^2\bar{\tau}\bar{\nu}^{-1})$ となる。これは $n$ に依存するスケーリングの面で顕著な差を示している。
• アルゴリズムは解のベクトルと最適解の値の古典的記述を出力する。これは、通常のQLSA応用が量子状態のみを出力するのに対し、顕著な利点である。
• 特に $n$ に依存するスケーリングにおいて、量子手法は $O(\bar{\rho}\bar{\tau}^2)$ に比例するが、古典的手法は $O((n+m)^2)$ またはそれ以上に比例するため、その高速化は顕著である。
• この手法は密度行列線形計画問題に適用可能であり、このクラスの最適化問題における量子優位性への明確な道筋を提供する。