[論文レビュー] A Quantum Observable for the Graph Isomorphism Problem

Mark Ettinger, Peter Høyer|ArXiv.org|Jan 13, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] 上の量子観測可能量を提案している。この観測可能量は、同型なグラフと非同型なグラフを区別する。同型の場合、確実に「はい」と返す。非同型の場合、確率が 1 − n!/2ᵐ 以上で「いいえ」と返す。この観測可能量は、コセット状態の重ね合わせに基づき、半順序群の構造を活用しているが、量子コンピュータでの効率的実装は未解決のままである。

ABSTRACT

Suppose we are given two graphs on $n$ vertices. We define an observable in the Hilbert space $\Co[(S_n \wr S_2)^m]$ which returns the answer ``yes'' with certainty if the graphs are isomorphic and ``no'' with probability at least $1-n!/2^m$ if the graphs are not isomorphic. We do not know if this observable is efficiently implementable.

研究の動機と目的

• 群論的構造を用いてグラフ同型性を判定する量子観測可能量の開発。
• 量子力学が隠れ部分群技法を用いてグラフ同型性問題を解けるかどうかの探求。
• 測定結果が同型性の有無を高い信頼性で明らかにする、ヒルベルト空間内の観測可能量の定義。
• このような観測可能量を量子コンピュータ上で効率的に実装可能かどうかの検討。
• 共有される群構造を通じて、グラフ同型性問題と符号同値問題を関連付けること。

提案手法

• 観測可能量は、精度を制御するパrameter m を持つヒルベルト空間 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] 上に定義される。
• 部分空間 ℋ₀ と ℋ₁ への射影 P₀ と P₁ を用いる。ℋ₁ は、群 G に属する対合的スワップ k に関連する k-ベクトルで張られる。
• k-ベクトルは、群の要素と、それらを対合的スワップ k による乗算で得られる像の重ね合わせである。
• 観測可能量 L = λ₀P₀ + λ₁P₁ は、状態が ℋ₁ に属する（同型を示唆する）か、その直交補空間にあるかを測定する。
• 入力状態として、非連結グラフの自己同型群 H に対するコセット状態 |cH⟩ を用いる。
• この方法は、グラフが同型の場合、すべてのコセット状態が ℋ₁ に完全に含まれることに依存する。非同型の場合、ℋ₁ との重なりは n!/2ᵐ で抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同型なグラフに対しては常に「はい」、非同型なグラフに対しては高い確率で「いいえ」を返すような量子観測可能量を構築できるか？
• RQ2 提案された観測可能量は、量子回路を用いて効率的に実装可能か？
• RQ3 半順序群 Sₙ ≀ S₂ の構造は、非連結グラフの和の自己同型群とどのように関係するか？
• RQ4 この量子枠組みにおいて、グラフ同型性問題と符号同値問題の関係は何か？
• RQ5 Sₙ ≀ S₂ の隠れ部分群構造を活用して、グラフ同型性問題を多項式時間で解く量子アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 2つのグラフが同型の場合、入力状態が完全に部分空間 ℋ₁ 内にあるため、観測可能量は確実に「はい」と返す。
• グラフが非同型の場合、測定で「はい」となる確率は n!/2ᵐ 以下であるため、測定で「いいえ」となる確率は 1 − n!/2ᵐ 以上である。
• ヒルベルト空間 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] の次元は 2ᵐ(n!)²ᵐ に比例し、m に対して指数関数的に増加するが、m が n に対して対数的である場合、n に対して多項式的となる。
• 測定の性質が優れているにもかかわらず、この観測可能量が効率的に実装可能であるとはまだ知られていない。
• マニー・クニルの示唆により、この手法は符号同値問題へも拡張可能である。これは、共通する群論的構造に起因する。
• 対合的スワップによって生成される Sₙ ≀ S₂ の部分群 G′（指数 2）を、全群の代わりに用いることで、ヒルベルト空間の次元を削減できる。