[論文レビュー] A quantum walk with both a continuous-time and a continuous-spacetime limit

Di Molfetta Giuseppe, Pablo Arrighi|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

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ひとこと要約

本稿では、連続時間および連続時空極限を統合する新しい量子ウォーク（「プラスティックQW」）を提案する。このモデルは、連続時間離散空間極限において格子フェルミオンに収束し、連続時空極限においてディラック方程式に収束する。主な貢献は、スケーリングパラメータαを用いて非相対論的および相対論的連続極限を両立する単一の離散モデルを構築したことであり、量子シミュレーションの統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Nowadays, quantum simulation schemes come in two flavours. Either they are continuous-time discrete-space models (a.k.a Hamiltonian-based), pertaining to non-relativistic quantum mechanics. Or they are discrete-spacetime models (a.k.a Quantum Walks or Quantum Cellular Automata-based) enjoying a relativistic continuous spacetime limit. We provide a first example of a quantum simulation scheme that unifies both approaches. The proposed scheme supports both a continuous-time discrete-space limit, leading to lattice fermions, and a continuous-spacetime limit, leading to the Dirac equation. The transition between the two can be thought of as a general relativistic change of coordinates, pushed to an extreme. As an emergent by-product of this procedure, we obtain a Hamiltonian for lattice-fermions in curved spacetime with synchronous coordinates.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンベースの（連続時間、離散空間）および量子ウォークベースの（離散時空）量子シミュレーション手法を統合すること。
• 離散モデルにおける非相対論的格子フェルミオンと相対論的ディラック場理論の間の矛盾を解消すること。
• 連続時間極限（格子フェルミオン）と連続時空極限（ディラック方程式）の両方をサポートする単一の量子ウォークモデルを構築すること。
• 相互作用を有する量子場理論をシミュレートする基盤として機能する離散時空量子セルオートマトン（QCA）を提供すること。
• 同期座標系における曲がった時空の格子フェルミオンハミルトニアンの出現を副産物として探索すること。

提案手法

• モデルは、質量m、光速c、離散化スケールε、スケーリングパラメータαを有する(1+1)次元時空グリッド上の1粒子量子ウォークである。
• 時空の離散化はΔt = εおよびΔx = ε^(1−α)で制御され、αを用いて極限の取り方を調整可能である。
• ウォークは各時空点における2成分スピンネル上で作用するユニタリな発展演算子Gで定義される。
• 連続時間極限（α = 1）は、ε → 0 かつ Δx を有限に保つことで得られ、格子フェルミオンのKogut-Susskindハミルトニアンが導かれる。
• 連続時空極限（α = 0）は、ε → 0 かつ Δx = Δt とすることで得られ、ディラック方程式が回復される。
• モデルは非相互作用粒子の多数に拡張され、連続極限において自由ディラック量子場理論をシミュレートするQCAが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の離散量子ウォークモデルが、連続時間離散空間極限と連続時空極限の両方をサポートできるか？
• RQ2 提案された量子ウォークモデルが連続時間極限においてKogut-Susskind格子フェルミオンハミルトニアンを生成するか？
• RQ3 同じモデルが連続時空極限においてディラック方程式を回復するか？
• RQ4 このモデルを時空依存の光速c(x,t)を持つ曲がった時空に一般化できるか？
• RQ5 このモデルは、標準的な格子フェルミオン形式に内在するフェルミオン二重化問題を回避するか？

主な発見

• プラスティックQWモデルは、連続時間離散空間極限（α = 1）をうまくサポートし、格子フェルミオンのKogut-Susskindハミルトニアンを生成する。
• モデルは連続時空極限（α = 0）もサポートし、(1+1)次元におけるディラック方程式を回復する。
• 中間的なα値（0 < α < 1）では、2つの極限の間を滑らかに補間し、統一的なスケーリング行動を示す。
• モデルはc(x,t)を持つ曲がった時空に一般化され、同期座標系における格子フェルミオンハミルトニアンが得られる。
• QCA形式のモデルは、多数粒子の連続極限において自由ディラック量子場理論を正しく再現する。
• 予期せぬ副産物として、同期座標系を用いた曲がった時空におけるディラック方程式の新しい離散化が得られ、新規の格子フェルミオンハミルトニアンが提供される。