[論文レビュー] Reversible quantum cellular automata

Benjamin Schumacher, Reinhard F. Werner|ArXiv.org|May 28, 2004

Cellular Automata and Applications参考文献 24被引用数 105

ひとこと要約

本稿は、有限の伝搬速度と並進不変性を満たす無限格子上の可逆量子セルオートマトン（QCA）のきめ細やかな枠組みを提案する。すべてのこうしたQCAが一般化されたマーゴラス分割方式を介して構造的に可逆であることが確立され、近接隣接QCAの逆写像が再び近接隣接オートマトンであることが保証される。さらに、ユニタリ対称性、古典的可逆オートマトン、量子回路、およびクリフォード変換を用いた複数の構築手法が提示される。

ABSTRACT

We define quantum cellular automata as infinite quantum lattice systems with discrete time dynamics, such that the time step commutes with lattice translations and has strictly finite propagation speed. In contrast to earlier definitions this allows us to give an explicit characterization of all local rules generating such automata. The same local rules also generate the global time step for automata with periodic boundary conditions. Our main structure theorem asserts that any quantum cellular automaton is structurally reversible, i.e., that it can be obtained by applying two blockwise unitary operations in a generalized Margolus partitioning scheme. This implies that, in contrast to the classical case, the inverse of a nearest neighbor quantum cellular automaton is again a nearest neighbor automaton. We present several construction methods for quantum cellular automata, based on unitaries commuting with their translates, on the quantization of (arbitrary) reversible classical cellular automata, on quantum circuits, and on Clifford transformations with respect to a description of the single cells by finite Weyl systems. Moreover, we indicate how quantum random walks can be considered as special cases of cellular automata, namely by restricting a quantum lattice gas automaton with local particle number conservation to the single particle sector.

研究の動機と目的

• 量子セルオートマトンの定義に起因する基礎的欠陥、特に無限系と不適切に定義されたグローバルユニタリ演算子の問題を解決すること。
• 状態ベクトルの無限系における曖昧性を回避するため、観測量代数とハイゼンベルク図式に基づく数学的にきめの細かいQCAの枠組みを確立すること。
• 有限の伝搬速度と並進不変性を満たすQCAを生成するすべての局所的ルールを特徴付けること。
• すべてのこうしたQCAが構造的に可逆である、すなわちブロック単位のユニタリ方式によって逆写像が可能であることを証明すること。
• ユニタリ演算子、それらの平行移動と可換な演算子、古典的可逆オートマトン、量子回路、およびクリフォード変換からなるQCAの構築法を提示すること。

提案手法

• QCAを、離散的な時間発展に従い、格子の並進と可換であり、厳密に有限の伝搬速度を持つ無限量子格子系として定義する。
• ハイゼンベルク図式を用いて、グローバル時間発展を観測量代数上の*-自己同型として記述し、時間発展下での観測量の局所化を保証する。
• 格子の並進と可換で、有限の伝搬を保つユニタリ演算子を用いて、QCAを生成する局所的ルールを特徴付ける。
• 一般化されたマーゴラス分割方式を導入し、格子をブロックに分割し、時間発展が交互に異なる分割に従ってブロック単位でユニタリ操作を施す。
• それ自身の平行移動と可換なユニタリからなるQCAを構築し、こうした演算子が有効なQCA時間ステップを生成することを示す。
• 量子化された可逆な古典的セルオートマトン、量子回路、および有限ワイエル系上のクリフォード変換からQCAを構築できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限格子上での有限伝搬速度を満たす可逆量子セルオートマトンを生成するための局所的ルールの必要十分条件は何か？
• RQ2 近接隣接量子セルオートマトンの逆写像は、常に近接隣接オートマトンとして実現可能か？
• RQ3 ユニタリ、回路、または古典的可逆ルールといった既知の量子操作から、QCAを体系的にどのように構築できるか？
• RQ4 量子ランダムウォークは、量子セルオートマトンの特別なケースとしてどの程度現れるか？
• RQ5 一般化されたマーゴラス分割方式は、QCAにおける可逆性と有限伝搬の実現に果たす構造的役割は何か？

主な発見

• 有限の伝搬速度と並進不変性を満たすすべての可逆量子セルオートマトンは、構造的に可逆であり、分割された格子上のブロック単位のユニタリ操作の系列に分解可能である。
• 近接隣接量子セルオートマトンの逆写像は、再び近接隣接オートマトンである。これは古典的状況では保証されない性質である。
• 格子の並進と可換なユニタリ演算子に基づき、こうしたQCAを生成する局所的ルールの完全な特徴付けが与えられる。
• 単粒子系における量子ランダムウォークは、粒子数保存を満たす量子格子ガスオートマトンの特別なケースであることが示され、それら自体がQCAである。
• 複数の構築法が確立された：並進不変なユニタリ、古典的可逆オートマトンの量子化、量子回路、有限ワイエル系上のクリフォード変換を用いた方法。
• この枠組みにより、グローバルユニタリ演算子が不適切に定義される問題を回避する、ハイゼンベルク図式におけるQCAの一貫性ある記述が可能になる。