[論文レビュー] A quasi-potential for conservation laws with boundary conditions

Christophe Bahadoran|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 39被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、Bardosら（BLN）の意味における境界条件を満たすスカラー保存則に対して、フラックス関数 $f(\rho)$、厳密に凸なエントロピー $h(\rho)$、境界密度 $\rho_l, \rho_r$ を用いて、準ポテンシャルと最小化経路を計算する。主な結果は、非対称排除過程における定常的大幅偏差関数の一般化であり、境界データとフラックスの凸性に依存する非局所的でショックに基づく揺らぎ経路を明らかにする。

ABSTRACT

We compute the quasi-potential and determine minimizing paths for an action functional related to scalar conservation laws on an interval with boundary conditions in the sense of Bardos et al. (1979). Taking as input an exclusion-like flux function, a strictly convex entropy, and boundary data, we obtain a generalization of the functional derived by Derrida, Lebowtiz and Speer (2003) for the stationary large deviations of the asymmetric exclusion process.

研究の動機と目的

• 区間上でのスカラー保存則の準ポテンシャル $V[\rho(\cdot)]$ を、BLNの意味における境界条件のもとで導出すること。
• 準ポテンシャルを実現する最小化経路（揺らぎ経路）を特定すること。これは非平衡定常状態におけるレアイベントに対応する。
• 非対称排除過程に対して以前に導出された定常的大幅偏差関数を、より広いクラスのフラックス関数と境界条件へ一般化すること。
• 境界駆動系において、動的大幅偏差と静的大幅偏差の間に準ポテンシャルを介して接続を確立すること。

提案手法

• 大規模偏差原理に基づき、排除過程における大規模偏差の動機づけから、BLNエントロピー解からの逸脱を定量化する作用関数 $I[\rho(\cdot,\cdot)]$ を定式化する。
• 準ポテンシャル $V[\rho(\cdot)]$ を、定常解から与えられたプロファイル $\rho(\cdot)$ へ至るすべての経路における $I$ の下界として定義する。
• 特性法と可視化解の技法を用いて、準ポテンシャルに関連するハミルトン・ジャコビ方程式を解析する。
• 時間反転ハミルトニアン系を解くことにより、明示的な揺らぎ経路を導出し、境界データとフラックスの凸性に応じてショック波および希釈波の構造を特定する。
• 非平衡状態においてオンサージェ＝マッハルプ原理を適用し、適切な条件下で最小化経路が時間反転された緩和経路であることを示す。
• 最小化経路を、$\rho$ が $\rho^*$（フラックスの最大化点）および境界値 $\rho_l, \rho_r$ に対して相対的に位置するかによって三つのケースに分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BLN境界条件を満たすスカラー保存則の明示的形での準ポテンシャルは何か？
• RQ2 境界駆動系の非平衡定常状態における最小化経路（揺らぎ経路）はどのように振る舞うか？
• RQ3 準ポテンシャルが非局所的である条件は何か？また、ショック形成とどのように関係するか？
• RQ4 最小化経路の構造は、$\rho_l$, $\rho_r$, およびフラックス最大化点 $\rho^*$ の相対的な値にどのように依存するか？
• RQ5 準ポテンシャルは動的大幅偏差原理から導出可能であり、排除系に類似したモデルにおける静的大幅偏差関数と結びつけることができるか？

主な発見

• フラックス関数 $f(\rho)$ が $f \in C^2$, $f(0)=f(K)=0$, および $f''<0$ を満たす一般クラスに対して、厳密に凸なエントロピー $h(\rho)$ を用いて、準ポテンシャルが明示的に計算可能である。
• 最小化経路は、境界データおよび $\rho$ が $\rho^*$（フラックス最大化点）の相対的位置に応じて、希釈波とショック波から構成されることが示された。
• $\rho_l < \rho_r$ の場合、最小化経路は $\rho_l$ からの希釈波と $\rho_r$ へつなぐショック波から成り、ショックの速度はランキン＝ユゴニオ条件によって決定される。
• $\rho_r < \rho^* < \rho_l$ の場合、$\rho \geq \rho^*$ または $\rho \leq \rho^*$ に応じて、$\rho^\prime = \varphi(\rho)$ を含む異なる波配置が生じる。
• $\rho^* < \rho_r \leq \rho_l$ の場合、境界に関して対称的挙動を示し、有限時間内に $x=1$ から $x=0$ へと伝播するショック波を含む。
• 時間反転された緩和経路が一意に最小化経路であることが示され、オンサージェ＝マッハルプ原理の非平衡系への一般化が裏付けられた。