[論文レビュー] A question of Doctor Malte Wandel on automorphisms of the punctural Hilbert schemes of K3 surfaces

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マーティン・ヴァンデルの問いに肯定的な答えを提供する。K3表面 S に対して Aut(S) が有限であるが、その長さ2の局所ヒルベルトスキーム S^{[2]} に対しては Aut(S^{[2]}) が無限大であるような例を構成する。この構成は、判別式17の偶数の双曲的格子 Λ に同型なネロン・セベリ格子をもつK3表面に依拠しており、P^3 への2通りの異なる埋め込みが存在し、それらから S^{[2]} 上に2通りの異なるボアヴィル・インボリューションが誘導される。主な結果は、S^{[2]} はモーリー・ドリーム・スペースでないが、ヒルベルト＝チャウ写像の像である S^{(2)} はそうであるということである。

ABSTRACT

We present a sufficient condition for the punctural Hilbert scheme of length two of a K3 surface with finite automorphism group to have automorphism group of infinite order in geometric terms (Theorem 2.1). We then give concrete examples (Theorem 1.2). We also discuss about Mori dream space (MDS) structures under an extermal crepant resolution (Theorems 1.2, 5.2, 4.1) from the viewpoint of automorphisms. These affirmatively answer a question of Doctor Malte Wandel.

研究の動機と目的

• K3表面 S の局所ヒルベルトスキーム S^{[2]} が、S 自身の自己同型群 Aut(S) が有限である場合に、Aut(S^{[2]}) が無限大であるかどうかというマーティン・ヴァンデルの問いを解消すること。
• S が射影空間への複数の埋め込みをもつことに基づいて、Aut(S^{[2]}) が無限大であるための幾何的条件（定理2.1）を確立すること。
• 特にヒルベルト＝チャウ写像 μ:S^{[2]}→S^{(2)} に対して、極小なクリープント解体がなされる場合のモーリー・ドリーム・スペース（MDS）性質を調査すること。
• クリープントかつ極小な解体であるにもかかわらず、S^{[2]} はモーリー・ドリーム・スペースでないが、S^{(2)} はそうであることを示すこと。
• NS(S) ≅ Λ であるK3表面 S の明示的例を提示し、Aut(S) が有限だが Aut(S^{[2]}) が無限大であることを確認することで、このような例の存在を裏付けること。

提案手法

• 判別式17の偶数の双曲的格子 Λ に同型なネロン・セベリ格子をもつK3表面 S を構成し、これにより Picard数 ρ(S) = 2 が保証される。
• このようなK3表面が、直線を含まない滑らかな二次曲面として P^3 に少なくとも2通りの異なる埋め込みをもつことを利用し、それらから2つの異なる線形系が誘導されることを用いる。
• これらの埋め込みから誘導されるボアヴィルの対合を用い、埋め込みが非同型である場合には、Aut(S^{[2]}) の中に無限大部分群が生成されることを活用する。
• クライマンの基準およびネフ錐の性質を用いて、もし Aut(S^{[2]}) が無限大であれば、ネフ錐は有限の有理係数多面体錐ではありえないことを示す。
• ヒルベルト＝チャウ写像 μ:S^{[2]}→S^{(2)} が極小クリープント解体であることを用い、対称群 Σ_n が S^n 上に作用する仕組みを分析することで、MDS性質を検討する。
• オカワらの結果を応用：S^n がMDS（有限 Aut(S_k) の下で成立）であれば、S^{(n)} = S^n / Σ_n もMDSである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3表面 S に対して Aut(S) が有限である場合に、その局所ヒルベルトスキーム S^{[2]} が無限大の自己同型群をもつことはあり得るか？
• RQ2 K3表面 S に対して、Aut(S^{[2]}) が無限大であるための幾何的条件は何か？
• RQ3 ヒルベルト＝チャウ写像 μ:S^{[2]}→S^{(2)} が極小クリープント解体である場合、MDS性質は保たれるか？
• RQ4 Picard数 ρ(S) = 2 かつ |Aut(S)| < ∞ であるK3表面 S に対して、|Aut(S^{[2]})| = ∞ となる例は存在するか？
• RQ5 対称積 S^{(n)} がMDSであるとき、ヒルベルトスキーム S^{[n]} がMDSである条件は何か？

主な発見

• NS(S) ≅ Λ であるK3表面 S に対して、Aut(S) は有限であるが、Aut(S^{[2]}) は無限大である。これによりヴァンデルの問いに肯定的な答えが得られた。
• S が P^3 に非同型な2通りの埋め込みをもつことにより、S^{[2]} 上に2つの異なるボアヴィル対合が誘導され、それらは Aut(S^{[2]}) の中に無限大部分群を生成する。
• ヒルベルト＝チャウ写像 μ:S^{[2]}→S^{(2)} は極小クリープント解体であるが、S^{[2]} はモーリー・ドリーム・スペースでない。一方、S^{(2)} はそうである。
• S^{[2]} のネフ錐は有限の有理係数多面体錐ではない。これは、Aut(S^{[2]}) が無限大であるためには、錐構造が多面体的でない必要があることを示唆する。
• 対称積 S^{(2)} はモーリー・ドリーム・スペースである。なぜなら S^2 がMDSであり、Σ_2 による商が与えられた条件下でMDS性質を保つからである。
• 構成により、Aut(S) が有限で Aut(S^{[2]}) が無限大となるような場合に、ρ(S) = 2 が最小のピカール数であることが示された。