[論文レビュー] A Ramsey space of infinite polyhedra and the infinite random polyhedron

José G. Mijares, Gabriel Díaz Padilla|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限順序付き多面体の新しい位相的ラマヌジャン空間を導入し、有限多面体のクラスがカテゴリー的および構造的文脈の両方でラマヌジャン性質を満たすことを示している。また、（順序付き）ランダム多面体の自己同型群が極めて可換であることを確立し、非同型のフレイッシェ極限を持つ異なるラマヌジャンクラスを生成する、可算無限個のラマヌジャン部分空間を同定している。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new topological Ramsey space whose elements are infinite ordered polyhedra. Then, we show as an application that the set of finite polyhedra satisfies two types of Ramsey property: one, when viewed as a category over $\mathbb N$; the other, when considered as a class of finite structures. The (ordered) random polyhedron is the Fraisse limit of the class of finite ordered polyhedra; we prove that its group of automorphisms is extremely amenable. Finally, we present a countably infinite family of topological Ramsey subspaces; each one determines a class of finite ordered structures which turns out to be a Ramsey class. One of these subspaces is Ellentuck's space; another one is associated to the class of finite ordered graphs whose Fraisse limit is the random graph. The Fraisse limits of these classes are not pairwise isomorphic as countable structures and none of them is isomorphic to the random polyhedron.

研究の動機と目的

• 無限順序付き多面体に位相的ラマヌジャン空間構造を確立すること。
• 有限多面体のクラスが、ℕ 上の圏論的文脈と有限構造のクラスという二つの異なるラマヌジャン性質を満たすことを示すこと。
• （順序付き）ランダム多面体の自己同型群が極めて可換であることを証明すること。
• 可算無限個の位相的ラマヌジャン部分空間を同定し、それぞれが異なるラマヌジャンクラスの有限順序付き構造を生成すること。
• これらのクラスのフレイッシェ極限が互いに非同型であり、かつランダム多面体とも同型でないことを示すこと。

提案手法

• 無限順序付き多面体を要素とする新しい位相的ラマヌジャン空間を構成すること。
• 構造的ラマヌジャン理論を適用し、有限多面体のクラスが圏論的およびモデル論的両意味でラマヌジャン性質を満たすことを示すこと。
• フレイッシェ極限構成法を用いて、（順序付き）ランダム多面体を有限順序付き多面体のクラスの極限として定義すること。
• KPT法（ケヒリス＝ペスタヴォ＝トドルチェビッチ）を用いて、ランダム多面体の自己同型群の極めて可換性を証明すること。
• 可算無限個の位相的ラマヌジャン部分空間を同定・分析し、それぞれが有限順序付き構造のラマヌジャンクラスを誘導すること。
• これらのクラスのフレイッシェ極限を比較し、それらが互いに非同型であり、ランダム多面体とも異なることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限多面体のクラスは、ℕ 上の圏論的文脈でラマヌジャン性質を満たすか？
• RQ2 有限多面体のクラスは、有限構造のクラスとしてラマヌジャン性質を満たすか？
• RQ3 （順序付き）ランダム多面体の自己同型群は極めて可換か？
• RQ4 可算無限個の位相的ラマヌジャン部分空間からなる族を構成でき、それぞれが異なるラマヌジャンクラスを生成するか？
• RQ5 これらのラマヌジャンクラスのフレイッシェ極限は互いに非同型であり、かつランダム多面体とも同型ではないか？

主な発見

• 有限多面体のクラスは、ℕ 上の圏論的文脈でラマヌジャン性質を満たす。
• 有限多面体のクラスは、有限構造のクラスとしてもラマヌジャン性質を満たす。
• （順序付き）ランダム多面体の自己同型群は極めて可換である。
• 可算無限個の位相的ラマヌジャン部分空間が構成され、それぞれが異なる有限順序付き構造のラマヌジャンクラスに対応する。
• これらのラマヌジャンクラスのフレイッシェ極限は、可算的構造として互いに非同型である。
• これらのクラスのフレイッシェ極限のいずれとも、ランダム多面体とは同型でない。