[論文レビュー] A real algebra perspective on multivariate tight wavelet frames

Maria Charina, Mihai Putinar+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヘルミート型平方和および半定値計画法を用いて、多変量のタイトウェーブレットフレーム構築と実代数幾何学の間の新しい関係を確立し、次元 d=2 における少なくとも1つの消失モーメントを有するタイトウェーブレットフレームの存在を証明する。これは長年の未解決問題を肯定的に解決し、数値的に効率的で解析的に構築可能なフレーム生成子を提供する一方で、d=3 における反例を特定し、より高い次元におけるより強い十分条件を提案する。

ABSTRACT

Recent results from real algebraic geometry and the theory of polynomial optimization are related in a new framework to the existence question of multivariate tight wavelet frames whose generators have at least one vanishing moment. Namely, several equivalent formulations of the so-called Unitary Extension Principle by Ron and Shen are interpreted in terms of hermitian sums of squares of certain nonnegative trigonometric polynomials and in terms of semi-definite programming. The latter together with the recent results in algebraic geometry and semi-definite programming allow us to answer affirmatively the long standing open question of the existence of such tight wavelet frames in dimension $d=2$; we also provide numerically efficient methods for checking their existence and actual construction in any dimension. We exhibit a class of counterexamples in dimension $d=3$ showing that, in general, the UEP property is not sufficient for the existence of tight wavelet frames. On the other hand we provide stronger sufficient conditions for the existence of tight wavelet frames in dimension $d > 3$ and illustrate our results by several examples.

研究の動機と目的

• 次元 d=2 における少なくとも1つの消失モーメントを有する多変量タイトウェーブレットフレームの存在に関する長年の未解決問題を解消すること。
• ユニタリ拡張原理（UEP）を非負の三角多項式のヘルミート型平方和に結びつける、新しい代数的枠組みを確立すること。
• 半定値計画法を用いて、数値的に効率的で構成可能な方法でタイトウェーブレットフレーム生成子を生成すること。
• d≥3 において UEP がフレーム存在性に不十分である場合を同定し、より強い十分条件を提案すること。
• 最小サポート制約を満たすタイトウェーブレットフレームの解析的構成を提供し、従来の数値的手法を改善すること。

提案手法

• ユニタリ拡張原理（UEP）を、三角多項式のヘルミート型平方和を用いて再定式化し、タイトフレーム存在性の代数的特徴付けを可能にする。
• UEP 条件を半定値計画法（SDP）問題に翻訳し、フレーム生成子の効率的な数値計算を可能にする。
• 実代数幾何学の結果、特に非負の三角多項式および平方和の理論を活用して、フレーム存在性を分析する。
• 三角多項式の同型的分解を用いて、制御されたサポートと対称性を有するフレーム生成子を構築する。
• モーメント問題および多項式最適化の理論を応用して、非負性および SOS 表現の存在を検証する。
• SOS 分解の同型的成分を上げることで、タイト性および消失モーメントを保証する解析的フレーム生成子を明示的に構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ拡張原理（UEP）は、次元 d=2 における少なくとも1つの消失モーメントを有する多変量タイトウェーブレットフレームの存在を保証するか？
• RQ2 実代数幾何学および多項式最適化の道具を用いて、d=2 におけるこのようなタイトウェーブレットフレームの存在を確立できるか？
• RQ3 d≥3 において、UEP がフレーム存在性に不十分である場合があるか？ もしそうであれば、存在を保証するより強い条件は何か？
• RQ4 フレーム構築を数値的に効率的かつ解析的に明示的に行うことは可能か？ これにより、従来の方法で一般的に見られるサポートの二重化を回避できるか？
• RQ5 三角多項式の構造およびその SOS 表現をどのように活用して、タイトフレーム生成子を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、実代数幾何学の結果を用いて、次元 d=2 における少なくとも1つの消失モーメントを有する多変量タイトウェーブレットフレームの存在に関する未解決問題を肯定的に解決する。
• ヘルミート型平方和に基づく UEP の新しい代数的定式化により、半定値計画法による構成的メソッドが可能となり、効率的なフレーム生成が可能になる。
• 著者らは、13個の生成子を有する2次元バタフライスキーム用のタイトウェーブレットフレームを構築し、フレーム生成子を解析的に導出し、再帰的関数のサポートの約2倍のサポートを得た。
• 次元 d=3 において、UEP 条件を満たしてもタイトフレームが存在しない反例を提示し、UEP が高次元では十分でないことを示している。
• d≥3 に対して、フレーム存在性のより強い十分条件を提供し、理論の適用範囲を d=2 の場合を越えて拡張している。
• 数値的検証により、補間的 √3-サブディビジョンスキームに関連する非負の三角多項式が実際に非負であることが確認され、有効なフレームの存在を支持する。