[論文レビュー] A recursive approach to the reduction of tensor Feynman integrals

Theodoros Diakonidis, J. Fleischer+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、6外部レグおよびテンソルランク R ≤ n を対象とする1ループテンソル費えん積分の再帰的還元スキームを提示する。Davydychev-Tarasov形式を用いて、高ランクテンソルを次元をずらしたスカラー積分に表現することで、効率的で数値的に安定した評価が可能となる。テンソル積分は、スカラー1〜4点関数の基底に還元され、既存のツールとの比較において数値ベンチマークで8桁まで一致する。

ABSTRACT

We describe a new, convenient, recursive tensor integral reduction scheme for one-loop $n$-point Feynman integrals. The reduction is based on the algebraic Davydychev-Tarasov formalism where the tensors are represented by scalars with shifted dimensions and indices, and then expressed by conventional scalars with generalized recurrence relations. The scheme is worked out explicitly for up to $n=6$ external legs and for tensor ranks $R\leq n$. The tensors are represented by scalar one- to four-point functions in $d$ dimensions. For the evaluation of them, the Fortran code for the tensor reductions has to be linked with a package like QCDloop or LoopTools/FF. Typical numerical results are presented.

研究の動機と目的

• 多レグ過程における高ランクテンソル1ループ費えん積分を体系的かつ再帰的に還元するための方法を開発すること。
• Davydychev-Tarasov形式を、任意の質量を持つ n ≤ 6 点関数に対して実用的でアルゴリズム的な還元チェーンへと拡張すること。
• 数値的安定性と、QCDloop や LoopTools/FF などの既存のスカラー積分パッケージとの互換性を保証すること。
• 質量ゼロおよび質量ありのテンソル積分（ランク5まで）をサポートするFortranベースの実装（Hexagon.F）を提供すること。

提案手法

• テンソル積分は、Davydychev-Tarasov形式を用いて、インデックスをずらした次元 d+2ε におけるスカラー積分で表現され、テンソル構造がずらされたインデックスに符号化される。
• 6点テンソルを出発点として、補助ベクトル Qs およびケーリー行列式の符号付き小行列を用いて、段階的にランクと外部レグ数を減少させる再帰的関係が導出される。
• 還元チェーンにより、n点テンソルが (n-1) 点テンソルおよび低ランクn点テンソルに還元され、最終的にすべての成分がスカラー1〜4点関数で表現される。
• 一般化された再帰関係を用いて、高次元スカラー積分を標準的なスカラー積分に表現し、数値的評価を可能にする。
• 最終的なスカラー基底関数の評価には、QCDloop や LoopTools/FF などの外部スカラー積分パッケージへのリンクが用いられる。
• アルゴリズムは再帰的三角形（図1）として構造化されており、代数的恒等式の連鎖を通じて、テンソルランクと外部レグ数を体系的に減少させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6外部粒子までを対象とする多レグ過程における高ランクテンソル1ループ積分を、どのようにして効率的に還元できるか？
• RQ2 Davydychev-Tarasov形式に基づく再帰的で代数的な還元スキームは、数値的安定性と既存のスカラー積分ライブラリとの互換性を達成できるか？
• RQ3 再帰的還元手法は、質量ゼロおよび質量ありの6点テンソル積分に適用した場合、性能と精度はどの程度か？
• RQ4 Golem95 や LoopTools/FF などの既存のオープンソースパッケージと比較して、再帰的アプローチの数値精度はどの程度か？

主な発見

• 再帰的還元スキームは、任意の内部質量を持つ6点関数のテンソル積分（ランク5まで）を、d次元におけるスカラー1〜4点関数のみを用いて成功裏に還元した。
• 質量ゼロの6点関数において、Hexagon.Fパッケージの結果は、Golem95とすべてのテストされたテンソル成分で少なくとも8桁の有効数字まで一致した。
• 質量ありの場合、ランク5テンソル成分は未発表の数値パッケージと比較され、すべての成分で一貫性があり、値のオーダーが 10^-9 から 10^-8 の範囲であった。
• 複雑な運動量構成に対しても、数値的安定性と精度が維持され、5つの質量ありおよび1つの質量ゼロのプロパゲーターを持つ質量あり6点例でその有効性が示された。
• 実装はモジュラーであり、QCDloop や LoopTools/FF などの標準的なスカラー積分パッケージとリンク可能で、高精度なQFT計算への広範な応用を可能にしている。