[論文レビュー] A reduction method for noncommutative $L_p$-spaces and applications

Uffe Haagerup, Marius Junge+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、一般のフォン・ノイマン代数—特にタイプIII—に関連する非可換 $L_p$-空間を、ハーグループの非公開結果に基づく構成によって、有限フォン・ノイマン代数の $L_p$-空間に近似する還元法を導入する。マップと作用素を交叉積に拡張し、トレース近似を用いることで、一般の場合における非可換マルティングルとエルゴード不等式の複雑さを、より取り扱いやすいトレース的設定に還元し、非可換ドゥーブおよびシュタイン最大不等式といった重要な不等式において最適な定数を達成する。

ABSTRACT

We consider the reduction of problems on general noncommutative $L_p$-spaces to the corresponding ones on those associated with finite von Neumann algebras. The main tool is a unpublished result of the first named author which approximates any noncommutative $L_p$-space by tracial ones. We show that under some natural conditions a map between two von Neumann algebras extends to their crossed products by a locally compact abelian group or to their noncommutative $L_p$-spaces. We present applications of these results to the theory of noncommutative martingale inequalities by reducing most recent general noncommutative martingale/ergodic inequalities to those in the tracial case.

研究の動機と目的

• 近似技術を用いて、一般の非可換 $L_p$-空間における問題を、より取り扱いやすいトレース的状況に還元すること。
• 局所コンpaktoアーベル群によるフォン・ノイマン代数の間のマップを、それらの交叉積に拡張し、主要な作用素的性質を保存すること。
• 一般（タイプIII）の場合における非可換マルティングルおよびエルゴード不等式が、トレース的状況に還元可能であることを確立すること。
• 非可換 $L_p$-理論における有限から一般のフォン・ノイマン代数への結果の転送のための体系的枠組みを提供すること。
• トレース的近似と補間技術を活用して、非可換最大不等式における最適な定数を回復すること。

提案手法

• 任意の $\sigma$-有限なフォン・ノイマン代数 $\mathcal{M}$ とその正規完備状態 $\varphi$ を含む、トレースを備えたより大きなフォン・ノイマン代数 $\mathcal{R}$ への埋め込みを、ハーグループの非公開結果を用いて行い、$\mathcal{R}$ が有限フォン・ノイマン部分代数の帰納的極限であることを保証する。
• 局所コンパクトアーベル群 $G$ に対して、$\mathcal{R} = \mathcal{M} \rtimes_{\sigma^\varphi} G$ を構成し、$\mathcal{R}$ が $\varphi$ を拡張する正規完備状態を持つことを保証する。
• $\mathcal{M}$ 上の完全正値マップ $T$ を、$\mathcal{R}$ 上のマップ $\widehat{T}$ に拡張し、正値性、収縮性、および拡張された状態下での対称性を保存する。
• 非可換マルチンキエヴィッチ補間定理を適用し、トレース的状況から一般状況への弱型 $(1,1)$ および強型 $(p,p)$ の境界を転送する。
• $L_p(\mathcal{R})$ におけるマルティングル収束定理を用い、条件付き期待値 $\Phi_m$ を通じて極限を通過させ、近似 $x_m = \Phi_m(x)$ が $x$ に収束することを保証する。
• 各有限部分代数 $\mathcal{R}_m$ における拡張マップ $\widehat{T}$ が必要な条件を満たすことを確認することで、非可換ドゥーブおよびシュタイン最大不等式をトレース的状況に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプIIIフォン・ノイマン代数に関連する非可換 $L_p$-空間は、不等式の証明の目的でトレース的 $L_p$-空間に還元可能か？
• RQ2 フォン・ノイマン代数間のマップが、収縮性および正値性を保存するように、それらの交叉積に拡張されるための条件は何か？
• RQ3 一般状況における非可換マルティングルおよびエルゴード最大不等式は、近似によってそれらのトレース的対応物から導出可能か？
• RQ4 非可換ドゥーブ最大不等式における定数 $C_p$ の最適なオーダーは、$p \to 1$ のときどのように振る舞うか？
• RQ5 交叉積と状態を保存する条件付き期待値を用いて、有限から一般の非可換 $L_p$-空間への結果の転送を体系的に行う方法は存在するか？

主な発見

• 非可換ドゥーブ最大不等式は、$p \to 1$ のとき $C_p$ が $(p-1)^{-2}$ のオーダーで成り立ち、これは最適である。
• 非可換シュタイン最大不等式についても、$p \to 1$ のとき $C_p$ が $(p-1)^{-2}$ のオーダーで成り立ち、これは可換の場合に既知の最適性と一致する。
• 還元法により、非可換ドゥーブおよびシュタイン最大不等式が、有限フォン・ノイマン代数による近似を通じて、それらのトレース的対応物から導出可能である。
• マップ $T$ を $\mathcal{M}$ 上から交叉積 $\mathcal{R}$ 上のマップ $\widehat{T}$ に拡張する際、最大不等式の境界に必要な条件 (I)–(IV) が保存される。
• $\mathcal{R}_n$ が有限フォン・ノイマン代数である $L_p(\mathcal{M})$ の $L_p(\mathcal{R}_n)$ への近似により、$\Phi_m(x)$ の極限が $L_p(\mathcal{R})$ で $x$ に収束することが保証される。
• 各 $M_n(T)(x)$ の個々のエルゴード定理は、最大不等式から従い、$1 < p < \infty$ ではほとんど確実収束、$p = \infty$ ではほとんど一様収束が $L_p$ で成立する。