[論文レビュー] A refined Kodaira dimension and its canonical fibration

Steven Lu|ArXiv.org|Nov 4, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 45被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、対 $(X,D)$ のための双有理不変量として、Campana の $\kappa^+$ を一般化する refined Kodaira次元 $\kappa'_{+}$ を導入し、一般型をなすオルビフォールド基底を持つ canonical fibration を構成する。主な貢献は、$\kappa'_{+} = 0$ による特殊多様体の特徴付けであり、このような fibrations が合成に関して保存されること、および canonical fibration のオルビフォールド基底にさらに特殊 fibrations が存在しないことの証明により、Campana の予想を解決し、全純チェーン接続性に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Given a (meromorphic) fibration $f:X o Y$ where $X$ and $Y$ are compact complex manifolds of dimensions $n$ and $m$, we define $L_f$ to be the invertible subsheaf of the sheaf of holomorphic $m$-forms of $X$ given by the saturation of $f^*K_Y$, where $K_Y$ is the canonical sheaf of $Y$. We define the Kodaira dimension of the orbifold base $(Y,f)$ by that of $L_f$ and call the fibration to be of general type if this dimension is the maximal $\dime Y$. We call $X$ special if it does not have a general type fibration with positive dimensional base and call $f$ special if its general fibers are. We note that Iitaka and rationally connected fibrations are special. Our main theorem is that any compact complex $X$ has a special fibration of general type which dominates any fibration of general type and factors through any special fibration of general type from $X$ in the birational category, thus unique in this category. Also, the fibration has positive dimensional fibers if $X$ is not of general type thus resolving a problem in Mori's program for varieties with negative Kodaira dimension. Our main theorem is stated in the full orbifold context of log pairs as in Mori's program via which we give an application to the Albanese map of projective manifolds with nef anticanonical bundle a part of which was derived using positive charateristic techniques by Qi Zhang.

研究の動機と目的

• log 多様体 $(X,D)$ に対して、全純チェーン接続性および Kobaayashi 虚距離の消滅に関連する幾何的性質を捉える双有理不変量 $\kappa'_{+}({X^\partial})$ を定義すること。
• 境界除数を持つ射影多様体に対して、Campana の特殊 fibrations を一般化する canonical fibration を構成し、そのオルビフォールド基底が一般型であることを特徴づけること。
• 特に、正次元のファイバーを持つ特殊 fibrations が存在しないことについて、Campana の予想を解決すること。
• Kodaira次元の加法性および飽和線形層の性質を用いて、特殊 fibrations が合成に関して保存されることを確立すること。

提案手法

• $\kappa'_{+}({X^\partial})$ を、$f: X \dashrightarrow Y$ が $\kappa(L) = p$ を満たすような全射な有理写像で、$L$ が $f^*K_Y$ の $\Omega^p_X(\log D)$ 内での飽和であるような最大の $p$ として定義する。
• Campana の定義を一般化し、$\kappa'_{+}({X^\partial}) = 0$ を満たす「特殊」な log 多様体 $X^\partial$ の概念を導入し、全純チェーン接続性と関連付ける。
• オルビフォールド準同型および K-写像を用いて、log 多様体間の良い準同型を定義し、canonical bundle および対数構造の引き戻しと整合性を持つようにする。
• Kollár の Kodaira次元の加法性を適用し、$X$ が特殊なオルビフォールド基底上の特殊 fibrations を持つならば、$X$ 自身も特殊であることを証明する。
• 一般型の一般ファイバーを持つ最大の fibrations を用いて canonical fibration を構成し、オルビフォールド基底を用いて fibrations の幾何的型を分類する。
• 基底が非有理被覆的であることと $\kappa'_{+}$ の構造を用いて、canonical fibration のオルビフォールド基底に正次元のファイバーを持つ特殊 fibrations が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的射影的状況において、全純チェーン接続性または Kobayashi 虚距離の消滅を特徴付ける双有理不変量は何か？
• RQ2 Campana の特殊 fibrations はどのようにして canonical に構成可能であり、そのオルビフォールド基底の幾何的構造は何か？
• RQ3 射影多様体の canonical fibration のオルビフォールド基底は一般型をなすか？ また、さらに正次元のファイバーを持つ特殊 fibrations を持たないか？
• RQ4 特殊多様体のクラスは、特殊な基底を持つ fibrations に関して保存されるか？ また、$\kappa'_{+}$ は fibrations の合成に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 refined Kodaira次元 $\kappa'_{+}$ は、有理的接続型および Calabi–Yau 型 fibrations の分類を統一するために用いられるか？

主な発見

• refined Kodaira次元 $\kappa'_{+}({X^\partial})$ は、双有理不変量であり、$\mathbb{C}^n$ からの最大ランクの全純写像の存在の不在および、特異的射影的状況における Kobayashi 虚距離の消滅を特徴付ける。
• 射影多様体が特殊（すなわち $\kappa'_{+} = 0$）であることと、全純チェーン接続であることとは同値であり、低次元および有理的接続型の場合の結果を拡張する。
• 射影多様体の canonical fibration のオルビフォールド基底は一般型をなし、したがってこの基底に正次元のファイバーを持つ有理的接続型 fibrations は存在しない。
• fibration $X \dashrightarrow W$ が特殊で、$W \dashrightarrow Y$ が一般型の一般ファイバーを持つ fibrations であるならば、Kodaira次元の加法性により $X$ は特殊であることが示される。
• canonical fibration のオルビフォールド基底に正次元のファイバーを持つ特殊 fibrations は存在しない。これは Campana の予想を解決する。
• canonical fibration の $\kappa'_{+}$ を用いた構成は、Campana の元来の定義を一般化し、開いている特殊多様体の分類に関する問いを解消する直接的かつ内因的な構成を提供する。