[論文レビュー] A refinement of Izumi's Theorem

Sébastien Boucksom, Charles Favre+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、多面体の双対複体におけるネフ線束の正性とトロイダル幾何を用いて、特異点における単項型賦値の比 $ v(f)/\operatorname{ord}_0(f) $ が一様にリプシッツ連続であることを確立することで、泉の定理を精錬する。主な結果は、賦値とその体積が、賦値を定義する重みパラメータに関して両方ともリプシッツ連続であり、その明示的な境界が双対複体の幾何に依存することを示している。

ABSTRACT

We improve Izumi's inequality, which states that any divisorial valuation v centered at a closed point 0 on an algebraic variety Y is controlled by the order of vanishing at 0. More precisely, as v ranges through valuations that are monomial with respect to coordinates in a fixed birational model X dominating Y, we show that for any regular function f on Y at 0, the function v--> v(f)/\\ord_0(f) is uniformly Lipschitz continuous as a function of the weight defining v. As a consequence, the volume of v is also a Lipschitz continuous function. Our proof uses toroidal techniques as well as positivity properties of the images of suitable nef divisors under birational morphisms.

研究の動機と目的

• 点における除斥的賦値とその零点の順序の間の比較可能性を定量的に強化すること。
• 固定された被埋没モデルにおける単項型賦値に関して、写像 $ v \mapsto v(f)/\operatorname{ord}_0(f) $ の一様リプシッツ連続性を確立すること。
• 賦値の体積が、賦値を定義する重みパラメータに関してリプシッツ連続であることを示すこと。
• ニュートン多面体と双対複体上の交線理論を用いて、リプシッツ定数を幾何的不変量と結びつけること。

提案手法

• 単純な正則交差除斥子の双対複体 $ \Delta(X,Z) $ を用いて、準単項型賦値の空間をモデル化するトロイダル幾何の使用。
• 双対複体の各面における賦値関数 $ v \mapsto v(f) $ の凹性とリプシッツ連続性を調べるための凸解析の応用。
• 被埋没写像によるネフ線束の像の正性性質を用いて、リプシッツ定数の上限を求める。
• コーエンの構造定理を用いて、局所座標における関数をべき級数として表現し、ニュートン多面体 $ \operatorname{Nw}(f,J) $ を定義する。
• 問題を、対数関数 $ \varphi = \log|f| $ のリプシッツ定数を用いて、ニュートン多面体の極値点のノルムを推定する問題に還元する。
• 定理Bの証明において、交線数 $ (L_d \cdot M^{n-|J|-1} \cdot E_J) $ を用いてリプシッツ定数の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 泉の不等式における定数を、単項型賦値の族全体にわたって一様にできるか？
• RQ2 関数 $ v(f)/\operatorname{ord}_0(f) $ は、賦値を定義する重みパラメータに関してリプシッツ連続か？
• RQ3 賦値関数のリプシッツ定数は、周囲の多様体と除斥子配置の幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 賦値の体積が、重みパラメータに関して連続に変化することを示せるか？

主な発見

• 双対複体 $ \Delta $ 上の関数 $ v \mapsto v(f) $ は凹かつリプシッツ連続であり、その定数は $ A \cdot \operatorname{ord}_0(f) $ 以下である。ここで $ A $ はモデル $ X $ と $ \Delta $ 上の計量にのみ依存する。
• 単項型賦値を定義する重みパラメータに関して、比 $ v(f)/\operatorname{ord}_0(f) $ は一様にリプシッツ連続であり、$ f $ とは無関係な境界を持つ。
• 賦値の体積は、単項型賦値を定義する重みベクトルに関してリプシッツ連続であり、そのリプシッツ定数は最大交線数 $ (L_1 \cdot M^{n-|J|-1} \cdot E_J) $ の倍数で有界である。
• ニュートン多面体 $ \operatorname{Nw}(f,J) $ の極値点のノルムは、$ AC \cdot \operatorname{ord}_0(f) $ 以下である。ここで $ C $ はノルムに依存する幾何的定数であり、$ A $ は定理Aにおけるリプシッツ定数である。
• 証明により、関数 $ v \mapsto v(f) $ のリプシッツ定数が、双対複体の幾何と被埋没写像によるハイパープランの引き戻しの正性に支配されることを示した。