[論文レビュー] Dynamics on Berkovich spaces in low dimensions

Mattias Jönsson|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2012

advanced mathematical theories参考文献 84被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的体上の多項関手および有理写像に関する、低次元のバーキョフスキー空間上の力学系の深層的探求を提示する。バーキョフスキー付着直線および射影直線の木構造と価値木構造の枠組みを活用することで、点の逆像の等分布に関する結果を確立し、バーキョフスキー空間が、古典的複素力学系を超えた非アーチメデス的力学系の分析に自然な設定を提供することを示している。

ABSTRACT

These are expanded lecture notes for the summer school on Berkovich spaces that took place at the Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris in 2010. They serve to illustrate some techniques and results from the dynamics on low-dimensional Berkovich spaces and to exhibit the structure of these spaces.

研究の動機と目的

• バーキョフスキー空間が離散力学系、特に非アーチメデス的設定においてどのように自然に現れるかを説明すること。
• バーキョフスキー空間の有用性を、反復された多項関数および有理写像の漸近的挙動を研究する上で示すこと。
• 自明な値付けをもつ体上の、特にアフィン直線および射影直線、アフィン平面を含む低次元バーキョフスキー空間の詳細な構造的分析を提示すること。
• バーキョフスキー空間の幾何学的性質とその木構造を用いて、点の逆像の等分布定理を確立すること。
• 価値木構造と半ノルムを用いて、固定点または無限遠点における局所的力学と、グローバルな力学的不変量との関係を結ぶこと。

提案手法

• 値付けをもつ体上の多項式環における乗法的半ノルムの空間として、局所的にコンパクトかつ弧状に連結なバーキョフスキーアフィン直線および射影直線を用いる。
• バーキョフスキー射影直線の木構造を応用し、有理写像の力学を分析する。メトリック空間的で木構造的な位相を活用する。
• 平面上の固定点または無限遠点における半ノルム空間をモデル化するために、点および無限遠点における価値木構造を用いる。
• 自明な値付けをもつ体上のアフィン平面上における多項関数写像の局所的力学を、原点または無限遠点に関連する半ノルムの部分空間に制限することで分析する。
• 多項関数および有理写像が半ノルムに与える作用を用いる：半ノルム |·| は多項式 ϕ に対して |f*ϕ| に写される。
• 非アーチメデス的解析の技術、特にポテンシャル論と等分布を用いて、バーキョフスキー空間上の測度の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーキョフスキー射影直線上における有理写像の力学は、複素数体上での古典的力学とどのように異なるか？
• RQ2 バーキョフスキーアフィン直線の木構造は、逆像の等分布の研究をどのように容易にするか？
• RQ3 点または無限遠点における価値木構造は、平面上の局所的多項関数力学をどのように分析できるか？
• RQ4 体における自明なノルムは、バーキョフスキーアフィン平面の構造を単純化するか、あるいは変化させるか？
• RQ5 固定点または無限遠点における局所的力学から、バーキョフスキー空間を用いて、グローバルな力学的不変量をどの程度回復できるか？

主な発見

• 非アーチメデス的体上のバーキョフスキー射影直線は、メトリック空間的で、局所的にコンパクトかつ弧状に連結な空間であり、木構造をなしており、力学の詳細な分析を可能にする。
• 有理写像の反復における点の逆像の等分布は、バーキョフスキー射影直線上で確立され、極限測度はジュリア集合に台を持つ。
• 点における価値木構造は、その点を中心とする半ノルムの漸近的挙動を捉え、平面上の局所的力学を研究するための道具を提供する。
• 自明な値付けをもつ体上のアフィン平面上における多項関数写像について、無限遠点における力学は、コンパクト化とそれに伴う無限遠点における価値木構造を用いて分析可能である。
• 自明な値付けをもつ体上のバーキョフスキーアフィン平面の構造は、複雑さにもかかわらず、十分に豊かであり、局所的力学の詳細な研究を可能にする。
• 本稿は、バーキョフスキー空間の枠組みが、古典的代数幾何学のみに依存する場合よりも、非アーチメデス的力学系の理解をより洗練されたものに可能にすることを示している。特に、カオス的挙動や不変測度の検出において顕著である。