[論文レビュー] A relation for Gromov-Witten invariants of local Calabi-Yau threefolds

Siu-Cheong Lau, Naichung Conan Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所カルラビ＝ヤウ3次元多様体における開Gromov-Wittenインバリアントと閉Gromov-Wittenインバリアントの関係を、被覆的変換（特にファイバーごとのコンパクト化とフロップ）を活用することで確立する。これにより、ブローアップ上の通常のGromov-Wittenインバリアントを用いて、 genus-zero の開インバリアントを計算可能となる。主な結果は、有理曲線が非変形可能であるという条件下で、$ K_S $ における開インバリアント $ n_{\alpha + \beta} $ が、$ K_{S_1} $ における閉インバリアント $ \langle 1 \rangle^{K_{S_1}}_{0,0,\alpha'} $ に等しいことである。

ABSTRACT

We compute certain open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau threefolds. The proof relies on a relation for ordinary Gromov-Witten invariants for threefolds under certain birational transformation, and a recent result of Kwokwai Chan.

研究の動機と目的

• トーリックカルラビ＝ヤウ3次元多様体の genus-zero 開Gromov-Wittenインバリアントを計算すること。これは、バブル構成のため、通常は障害を受ける。
• S_1 を S のブローアップとするとき、$ K_S $ 上の開インバリアントと $ K_{S_1} $ 上の閉インバリアントを、双有理幾何を用いて関連付けること。
• ファノ表面を超える一般化を図るため、非コンパクト空間上のインバリアントがwell-definedである条件を同定すること。
• SYZ鏡像対称性にインspiredされた、ファイバーごとのコンパクト化とフロップを通じて、開インバリアントと閉インバリアントの橋渡しを確立すること。

提案手法

• ファイバーごとのコンパクト化 $ X = \mathbb{P}(K_S \oplus \mathcal{O}_S) \to S $ を用いて、開インバリアントと閉インバリアントを関連付ける。
• 中間空間 $ \tilde{X} $ を介して、ファイバーに沿ったブローアップとフロップを用いて、有理写像 $ f: X \dashrightarrow W $ を構成する。
• 特に通常のフロップとブローアップにおけるGromov-Wittenインバリアントの双有理変換に関する既知の結果を適用する。
• Kuranishi構造と鏡像周期を介して、開インバリアントと閉インバリアントを結ぶChanの結果に依拠する。
• 仮想基本クラスと評価写像を用いて、モジュライ空間上の積分によりインバリアントを定義する。
• 構成を任意の滑らかで射影な多様体上の $ \mathbb{P}^n $-バンドルへ一般化し、高次元の基底に対しても同様の関係を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害のあるモジュライ空間を持つ非ファノトーリックカルラビ＝ヤウ3次元多様体に対して、genus-zero 開Gromov-Wittenインバリアントをどのように計算できるか？
• RQ2 コンパクト化された局所カルラビ＝ヤウ3次元多様体間で、Gromov-Wittenインバリアントを保存または関連付ける双有理変換は何か？
• RQ3 非コンパクトカルラビ＝ヤウ3次元多様体のGromov-Wittenインバリアントがwell-definedであるための条件は何か？
• RQ4 S_1 を S のブローアップとするとき、$ K_S $ 上の開インバリアントは、$ K_{S_1} $ 上の閉インバリアントとして表現可能か？
• RQ5 $ \mathbb{P}^1 $-バンドル上の表面に対して、フロップ操作がGromov-Wittenインバリアントに与える影響は何か？

主な発見

• $ (K_S, L) $ における genus-zero 開Gromov-Wittenインバリアント $ n_{\alpha + \beta} $ は、$ S_1 $ における $ \alpha $ の厳密変換 $ \alpha' $ を持つ、閉インバリアント $ \langle 1 \rangle^{K_{S_1}}_{0,0,\alpha'} $ に等しい。
• 有理曲線がクラス $ \alpha' $ においてゼロ切断から変形できないという条件下で、不変性が成り立つ。これにより、閉インバリアントのwell-definednessが保証される。
• ファノ表面 $ S_1 $ の場合、すべての $ \alpha $ に対してこの条件は自動的に満たされるため、この関係はその場合において普遍的に適用可能である。
• 1つのディスクの場合から一般化して、$ n $ 個の異なるラグランジュアン・トーラスファイバー上の $ n $ 個の境界成分を持つ開インバリアントに対しても関係が成立する。
• $ \mathbb{P}^1 $-バンドル上の表面に対して、主な恒等式 $ \langle [\mathrm{pt}], \dots, [\mathrm{pt}] \rangle^{X}_{0,n,\beta} = \langle 1 \rangle^{W}_{0,0,\beta'} $ が成り立つ。ここで $ \beta' $ は $ \beta $ の厳密変換である。
• 構成は、任意の滑らかで射影な多様体上の $ \mathbb{P}^n $-バンドルへ一般化され、ブローアップとフロップを含む双有理写像の下で同様の不変性が成り立つ。